next misson:สมาคม!!!

[อยากเก่งเลขครับ]

กำหนด $a^x=\frac{b}{c}$, $b^y=\frac{c}{a}$, $c^z=\frac{a}{b}$ แล้ว $xyz+x+y+z$ มีค่าเท่าใด

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

กำหนด $a^x=\frac{b}{c}$, $b^y=\frac{c}{a}$, $c^z=\frac{a}{b}$ แล้ว $xyz+x+y+z$ มีค่าเท่าใด

\[x=\log_{a}\frac{b}{c}=\frac{\log{b}}{\log{a}}-\frac{\log{c}}{\log{a}}\]
\[y=\log_{b}\frac{c}{a}=\frac{\log{c}}{\log{b}}-\frac{\log{a}}{\log{b}}\]
\[z=\log_{c}\frac{a}{b}=\frac{\log{a}}{\log{c}}-\frac{\log{b}}{\log{c}}\]
\[\therefore xyz+x+y+z=0\]
อยากได้วิธีเเบบม.ต้นคับ ไม่เคยเหนเหมือนกัน(ทำไม่เปนด้วย )

[banker]

มาต่อครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

13. ถ้า $60^a=3=60^b-2$ จงหาค่าของ $12^{\frac{a+b-1}{2-2b}}$

ข้อนี้ค่อนข้างยาว ถ้าท่านใดมีวิธีสั้นกว่านี้ โปรดชี้แนะด้วยครับ

$12^{\frac{a+b-1}{2-2b}} = \left(12^{\frac{1}{2-2b}}\right)^{a+b-1}$ .....(1)

$3 = 60^b -2 ------> 5 = 60^b$

$5^{\frac{1}{b}} = 60 = 12\times 5$ .......(2)

$\left(5\right)^{\frac{1}{b}-1} = 12$

$\left(5^2\right)^{\frac{1-b}{b}} = 12^2$

$\left(5^{\frac{1}{b}}\right)^{2-2b} = 12^2$

$5^{\frac{1}{b}} = \left(12^2\right)^{\frac{1}{2-2b}} = \left(12^{\frac{1}{2-2b}}\right)^2$

$5^{\frac{1}{2b}} = 12^{\frac{1}{2-2b}}$

แทนค่า $ \ \ \ 12^{\frac{1}{2-2b}}=5^{\frac{1}{2b}} \ \ \ $ ใน (1) ก็จะได้

$12^{\frac{a+b-1}{2-2b}} = \left(5^{\frac{1}{2b}}\right)^{a+b-1}$

$ = (5^{\frac{a}{2b}}) \cdot (5^{\frac{b}{2b}})\cdot (5^{-\frac{1}{2b}})$

$= (5^{\frac{1}{b}})^{\frac{a}{2}} \cdot (5^{\frac{1}{2}}) \cdot (5^{\frac{1}{b}})^{-\frac{1}{2}}$

$ = (60)^{\frac{a}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot (60)^{-\frac{1}{2}} \ \ \ $ .....(จาก(2))

$ = (60^a)^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot (60)^{-\frac{1}{2}} \ \ \ $

$ = (3)^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 60^{-\frac{1}{2}} \ \ \ $.....($60^a = 3$)

$ = \sqrt{\frac{3\times 5}{60}} $

$ = \sqrt{\frac{1}{4}} $

$ = \dfrac{1}{2}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

16. ถ้า $x+\sqrt{x}=2552$ จงหา $x+\frac{2552}{\sqrt{x}}$

$x+\sqrt{x}=2552 $

$\frac{(\sqrt{x} )^2}{\sqrt{x} } + \frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} } = \frac{2552}{\sqrt{x} }$

$\sqrt{x} +1 = \frac{2552}{\sqrt{x} }$

$ x + \sqrt{x} +1 = \frac{2552}{\sqrt{x} } + x \ \ \ \ \ \ .....(+ x$ ทั้งสองข้าง)

$ (x + \sqrt{x}) +1 = \frac{2552}{\sqrt{x} } + x$

$ (2552) +1 = \frac{2552}{\sqrt{x} } + x$

$ (2553) = \frac{2552}{\sqrt{x} } + x$

ตอบ $ \ \ x+\frac{2552}{\sqrt{x}} = 2553$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

21. ถ้า $x+\frac{1}{x}=3$ จงหาค่าของ $x^{5}+\frac{1}{x^5}$

$x+\frac{1}{x}=3 ---> x^2+2+\dfrac{1}{x^2} = 9 ---> x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 7 $ ......(1)

$x^3+\dfrac{1}{x^3} = 3^3-3\cdot 3 = 18$ .....(2)

$(x^3+\dfrac{1}{x^3}) (x^2+\dfrac{1}{x^2}) = 18 \times 7 $

$x^5+(x+\dfrac{1}{x}) + \dfrac{1}{x^5} = 126$

$(x^5+\dfrac{1}{x^5}) + (x+\dfrac{1}{x}) = 126$

$(s^5+\dfrac{1}{x^5}) + 3 =126$

$(s^5+\dfrac{1}{x^5}) =123 \ \ \ \ $ Ans.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

26.ถ้า $\frac{a}{4-a}=\frac{b}{7-b}=\frac{c}{13-c}$ และ $a+b+c=16$ จงหา $-a-b+c$

ให้ $\frac{a}{4-a}=\frac{b}{7-b}=\frac{c}{13-c} = k$ จะได้

$\dfrac{a}{4-a} = k ---> a = 4k-ka ---> a = \dfrac{4k}{1+k} \ \ \ \ $ ....(1)

$\dfrac{b}{7-b} = k ---> b = 7k-kb ---> b = \dfrac{7k}{1+k} \ \ \ \ $ ....(2)

$\dfrac{c}{13-c} = k ---> c = 13k-kc ---> c = \dfrac{13k}{1+k} \ \ \ \ $ ....(3)


$a+b+c=16 = \dfrac{4k+7k+13k}{1+k}$

$16+16k = 24k$

$k=2$

แทนต่า $k$ ใน (1), (2), (3) จะได้

$a = \dfrac{4\cdot 2}{1+2} = \dfrac{8}{3}$

$b = \dfrac{7\cdot 2}{1+2} = \dfrac{14}{3}$

$c = \dfrac{13\cdot 2}{1+2} = \dfrac{26}{3}$

$c-a-b = \dfrac{26}{3} - \dfrac{8}{3} - \dfrac{14}{3} = \dfrac{4}{3}$


$-a-b+c = \dfrac{4}{3} \ \ \ \ $ Ans.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

1.จงหาเลขโดดในหลักสิบของ $11^{22^{33^{44^{55^{66^{77^{88^{99}}}}}}}}$

ข้อนี้ยังคิดไม่ออก แต่มีแนวคิดดังนี้

1. เลขท้ายสองตัว

$11^1$ สองตัวท้ายคือ ...11
$11^2$ สองตัวท้ายคือ ...21
$11^3$ สองตัวท้ายคือ ...31
$11^4$ สองตัวท้ายคือ ...41
$11^5$ สองตัวท้ายคือ ...51
$11^6$ สองตัวท้ายคือ ...61
$11^7$ สองตัวท้ายคือ ...71
$11^8$ สองตัวท้ายคือ ...81
$11^9$ สองตัวท้ายคือ ...91
$11^{10}$ สองตัวท้ายคือ ...01
$11^{11}$ สองตัวท้ายคือ ...11
.
.
.

2. เลขชี้กำลังหนึ่งขยุ้มนั้น คงไม่ต้องยกกำลัง
3. เลขชี้กำลัง ถ้าจำเป็นต้องใช้ ก็น่าจะเป็น 22 หรือ 99
4. 11 เป็นจำนวนเฉพาะ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ทำได้แค่แจกแจงเป็น (10+1) โดยทำเป็น $(10+1)^{22^{33^{44^{55^{66^{77^{88^{99}}}}}}}}$ หารด้วย 100 เหลือเศษเท่าไร หรือถ้าจะใช้ ทบ. สองชื่อ ก็คงเหลือกำลังลาก


ท่านอื่นมีแนวคิด หรือวิธีทำอย่างไรบ้างครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

25. ผู้ใหญ่ 3 คน เด็ก 5 คน ทำงานเสร็จใน 17 วัน
ถ้า ผู้ใหญ่ 5 คน เด็ก 3 คน ทำงานอย่างเดียวกันเสร็จใน 15 วัน
อัตราส่วนการทำงานของผู้ใหญ่ต่อเด็กเป็นเท่าใด

ทำงานเสร็จใน 17 วัน ใช้ ผู้ใหญ่ 3 คน เด็ก 5 คน
ทำงานเสร็จใน 1 วัน ใช้ ผู้ใหญ่ 3x17 คน เด็ก 5x17 คน ....(1)


ทำงานเสร็จใน 15 วัน ใช้ ผู้ใหญ่ 5 คน เด็ก 3 คน
ทำงานเสร็จใน 1 วัน ใช้ ผู้ใหญ่ 5x15 คน เด็ก 3x15 คน ....(2)


(1) = (2) 51 ใหญ่ + 85 เด็ก = 75 ใหญ่ + 45 เด็ก

24 ใหญ่ = 40 เด็ก

3 ใหญ่ = 5 เด็ก


ตอบ อัตราส่วน การทำงาน ของผู้ใหญ่ต่อเด็กเป็น 5 : 3

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

17. จงหาผลบวกกำลังสองของคำตอบของสมการ $x^2-2x+1000=0$

ผลบวกของคำตอบของสมการ $ \ \ \ \ \alpha +\beta = - \frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} =2 $ ....(1)

ผลคูณของคำตอบของสมการ $ \ \ \ \ \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{1000}{1} = 1000$

$(1)^2 \ \ \ \ \ \ \alpha ^2 + 2\alpha \beta +\beta ^2 = 4 $

$\alpha ^2 + 2(1000) +\beta ^2 = 4 $

$\alpha ^2 +\beta ^2 = 4 - 2000 = - 1996$

ตอบ ผลบวกกำลังสองของคำตอบของสมการ = - 1996

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

19. จงหาผลบวกกำลังสามของรากของสมการ $x^2-x+1=0$

ผลบวกของรากของสมการ $\alpha +\beta = - \frac{b}{a} = - \frac{-1}{1} =1$ .........(1)

ผลคูณของรากของสมการ $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $ .....(2)

$(\alpha + \beta )^2 = 1 $

$\alpha^2 + 2\alpha \cdot \beta +\beta ^2 =1 $

$\alpha^2 +2 +\beta ^2 =1 $

$\alpha^2 +\beta ^2 = -1 $ .........(3)



(3) - 2(2) $ \ \ \ \ \ \alpha ^2 - 2\alpha \cdot \beta +\beta ^2 = -3$

$\alpha -\beta = \sqrt{3} i$ ......(4)

ทำไมติดค่า $i$


เดี๋ยวมาดูต่อครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

20. จงหากำลังสามของผลบวกรากของสมการ $x^2-x+1=0$

ผลบวกของรากของสมการ = $- \frac{-1}{1} =1$

กำลังสามของผลบวกรากของสมการ = $1^3 = 1 $

ตอบ กำลังสามของผลบวกรากของสมการ = $1$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

23. จงแก้ระบบสมการ $123x+456y=789$ , $987x+654y=321$

$123x+456y=789$ .........(1)

$987x+654y=321$.........(2)

(1)+(2) $ \ \ \ 1110x + 1110 y = 1110$

$x+y=1$ ......(3)

(2)-(1) $ \ \ \ 864x + 198 y = -468$ ....(4)

(3)x198 $ \ \ \ 198x + 198 y = 198$ ....(5)

(4)-(5) $ \ \ \ 666x = -666$ ....(5)

$x=-1$

แทนค่า $x$ ใน (3) $ \ \ -1 + y = 1$

$ y = 2$

ระบบสมการแก้แล้วได้ $x, y = $ {$-1, 2$}

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

24. จงหาผลบวกคำตอบของระบบสมการ $2009x+2552y=4567$ , $2552x+2009y=-6$

$2009x+2552y=4567$ ......(1)

$2552x+2009y=-6$ ......(2)

(1)+(2) $= 4561x+4561y=4561$

$x+y =1$ ......(3)

(1)- (2) $ \ \ \ 543y -543x =4573$ ....(4)


(3)x543 $ \ \ \ 543x+543y = 543$ ...(5)

(4)+(5) = $1086y = 5116$

เลขไม่ลงตัว ขี้เกียจทำต่อแล้วครับ

(ได้ค่า y ก้ไปแทนค่าหา x แล้วเอามาบวกกัน เป็นคำตอบ)

[หยินหยาง]

ผมว่าวันอาทิตย์นี้ไม่ต้องไปสอบสมาคมคณิตฯแล้วมั้งครับ(สำหรับคนที่หวังจะเอารางวัล) เพราะคุณ banker คงกวาดทุกรางวัลแล้วครับ เล่นตะลุยโจทย์ซะอย่างนี้

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

กำหนด $a^x=\frac{b}{c}$, $b^y=\frac{c}{a}$, $c^z=\frac{a}{b}$ แล้ว $xyz+x+y+z$ มีค่าเท่าใด

โจทย์ข้อนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมด้วยครับ ไม่งั้นจะมีหลายคำตอบ และวิธีแบบคุณ The jumpers ที่แสดงไว้ก็จะมีข้อจำกัดใช้ไม่ได้ครับ

เงื่อนไขที่ควรกำหนดเพิ่มคือ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกและไม่เท่ากับ 1
วิธีที่ใช้ความรู้ไม่เกิน ม.ต้น
$(a^x)^{yz}=(\frac{b}{c})^{yz} =\frac{b^{yz}}{c^{yz}}=\frac{(\frac{c}{a}^z }{\frac{a}{b}^y } =\frac{b^yc^z}{a^{y+z}}=\frac{(\frac{c}{a})(\frac{a}{b} ) }{a^{y+z}}= \frac{\frac{c}{b}}{a^{y+z}}=a^{-x-y-z} $
$a^{xyz}=a^{-x-y-z} $
$\therefore xyz+x+y+z =0$