ช่วยโจทย์วิชา Number Theory หน่อยค่ะ

[Jespata_ninin]

1. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มคี่ แล้ว $16|\left(a^{4}+b^{4}-2\,\right)$

2. จงใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ว่า $7|\left(3^{2n+1}+2^{n+2}\,\right)$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$

ขอบคุณนะคะ

[FranceZii Siriseth]

1.เคสแรก $a=4k+1$ , $b=4m+1$
เคสที่ 2 $a=4k+3$ , $m=4m+1$
เคสที่ 3 $a=4k+3$ , $m=4m+3$
$\exists k,m\in \mathbb{Z}$ กระจายตามโจทย์บอกเลยครับ

[FranceZii Siriseth]

2.กำหนดให้ $P(n)$ เป็นจริงสำหรับทุก $n=1,2,3...,k$

เพราะว่า $7 \mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$ ดังนั้น $3^{2n+1}+2^{n+2}=7k , \exists k\in \mathbb{Z} $


$P(k+1) : 3^{2k+3}+2^{k+3} $
$= 3^{2k+1}*9+2*2^{k+2} $
$= 3^{2k+1}*(7+2)+2*2^{k+2}$
$=3^{2k+1}*7+3^{2k+1}*2+2*2^{k+2}$
$=3^{2k+1}*(7)+14k$
$=7(3^{2k+1}+2)$ เพราะว่า $3^{2k+1}+2\in \mathbb{Z} $

ดังนั้น $7 \mid 3^{2k+3}+2^{k+3}$ ทำให้ $P(k+1)$ เป็นจริง จะได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

[nooonuii]

1. ให้ $a=2m+1,b=2n+1$ จะได้

$a^4+b^4-2=16(m^4+2m^3+n^4+2n^3)+8(3m^2+m+3n^2+n)$

แต่ $3m^2+m$ และ $3n^2+n$ เป็นจำนวนคู่เสมอ ที่เหลือต่อเองได้นะ