Happy New Year Problem

[nooonuii]

สวัสดีปีใหม่ 2549 ครับทุกท่าน ขออำนาจคุณพระศรีรัตนตรัยจงคุ้มครองและดลบันดาลให้สมาชิกทุกท่านมีความสุขตลอดปีใหม่นี้และตลอดไป ขอให้ทุกอย่างเป็นดั่งใจปราถนา สุขสมหวังกันถ้วนหน้าครับ ปีนี้มีโจทย์มาฝากอีกเช่นเคย ส่วนใหญ่คิดเองครับ

1.(อสมการ) ให้ a,b,c > 0 จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{a}{\sqrt{7a^2 + b^2 + c^2 }} + \frac{b}{\sqrt{a^2 + 7b^2 + c^2 }} + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + 7c^2 }} \leq 1 \]

2.(อสมการ) ให้ a,b,c > 0 โดยที่ a + b + c = 3 จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{a^n}{b+1} + \frac{b^n}{c+1} + \frac{c^n}{a+1} \geq \frac{3}{2} \]
ทุกจำนวนเต็ม n

3.(ทฤษฎีจำนวน) ให้ \( p_1 , p_2, ?, p_n \) เป็นลำดับของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{p_1}{p_2} + ... + \frac{p_{n-1}}{p_n} \]
ไม่เป็นจำนวนเต็ม

4.(คอมบินาทอริก) จงหาค่าของผลบวกต่อไปนี้ในรูปอย่างง่าย
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{i+j+1} {n \choose i} {n \choose j} \]

5.(ฟังก์ชัน) ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และนิยาม \( f : R^2 \rightarrow R^2 \) โดย
\[ f(x,y) = (ax+by,cx+dy) \]
จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

6.(Advanced Linear Algebra) ให้ A,B เป็น matrix ขนาด 3x3 โดยที่ \( A^4 = 0 \) และ ABA = BAB จงพิสูจน์ว่า I ? AB และ I ? BA เป็น invertible matrix

7.(พีชคณิตของพหุนาม) ให้ P(z) เป็นพหุนามในจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง |Re(P(z))| = |Im(P(z))| ทุกค่า z จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนจริง a ซึ่งทำให้
\[ [P(z)]^4 + 4a^4 = 0 \]
ทุกค่า z

8.(เรขาคณิต) ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ D เป็นจุดบน AB ซึ่งทำให้ส่วนของเส้นตรง CD แบ่งครึ่งมุม ACB จงพิสูจน์ว่า (AD)(BC) = (AC)(BD)

9.(Advanced Calculus) จงหาค่าของ
\[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} e^{-(x^2+y^2)} dxdy \]

10.(Basic Calculus) ให้ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันมากกว่าหนึ่งราก จงพิสูจน์ว่า P(x) มีค่าต่ำสุดและสูงสุดสัมพัทธ์

สมาชิกท่านใดมีโจทย์มาร่วมด้วยก็ไม่ขัดข้องครับ
Happy New Year 2006!!

P.S. จะกลับมาเฉลยข้อที่ยังไม่มีคำตอบหลังวันที่ 11 นะครับ

[passer-by]

ขอข้อที่ง่ายสุดก่อนแล้วกัน

8. กำหนดให้ $ \Delta $ แทนพื้นที่สามเหลี่ยม

เพราะ $ \frac{\Delta ADC}{\Delta DBC}=\frac{AD}{BD}......(1) $

และ $ \frac{\Delta ADC}{\Delta DBC}=\frac{\frac{1}{2}(AC)(CD)sin( A\hat{C}D)}{\frac{1}{2}(BC)(CD)sin( B\hat{C}D)}=\frac{AC}{BC}......(2) $

จาก (1)=(2) จะได้ (AD)(BC)=(BD)(AC)

[nongtum]

ข้อนี้ดูง่ายผิดปกติ ดังนั้นเจอผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ

7. WLOG ให้ $P(z)=\alpha\pm\alpha{i}$ เมื่อ $\alpha=\alpha{(z)}=Re(P(z))$ ดังนั้นจาก De Moivre's Theorem จะได้ว่าสมการ $$[P(z)]^4+4a^4=2\alpha^4{cis(\pm\pi)}+4a^4=-2\alpha^4+4a^4=0$$ มีคำตอบ a เป็นจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งตัว

ปล. สวัสดีปีใหม่ 2549 ชาว mathcenter ทุกคนครับ

[M@gpie]

พี่ noonuii ยังคงมี new year problem เช่นปีก่อนนะครับ อิอิ
งั้นขอ ข้อที่ทำได้ละกันคับอิอิ
ข้อ 9 ลำดับของการอินทิเกรตต้องเป็น สลับกันรึเปล่าครับ อินทิเกรตเทียบ x ถึง x มัน งงๆ
ทำการเปลี่ยนตัวแปรอินทิเกรตเป็นระบบพิกัดเชิงขั้วจะได้
\[ \begin{array}{rcl} \int _0 ^{\infty} \int _0 ^x e^{-(x^2+y^2)} dydx & = \int _0 ^{\infty} \int _0 ^{\frac{\pi}{4}} e^{-r^2} r d \theta dr = \frac{\pi}{8} \end{array} \]

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
4.(คอมบินาทอริก) จงหาค่าของผลบวกต่อไปนี้ในรูปอย่างง่าย
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{i+j+1} {n \choose i} {n \choose j} \]

ไม่ทราบว่าข้อนี้มีวิธีทำโดยใช้ combinatorial argument ไหม แต่วิธีทำของผมไม่เกี่ยวกับ combinatorics เลยครับ

จาก\[1-2(1+x)^n+(1+x)^{2n}=((1+x)^n-1)((1+x)^n-1)\]\[=
\left(\sum_{i=1}^n{n\choose i}x^i\right)\left(\sum_{j=1}^n{n\choose j}x^j\right)\]\[=
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{n\choose i}{n\choose j}x^{i+j}\]ดังนั้น\[
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{1}{i+j+1}{n\choose i}{n\choose j}
=\int_0^1\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{n\choose i}{n\choose j}x^{i+j}\,dx\]\[
=\int_0^11-2(1+x)^n+(1+x)^{2n}\,dx\]\[=
1-\frac{2(2^{n+1}-1)}{n+1}+\frac{2^{2n+1}-1}{2n+1}\]คร้าบ

[passer-by]

ข้อ 1 ใช้ Cauchy schwarz ก่อน

จาก $7a+b+c=a+a+a+a+a+a+a+b+c\leq \sqrt{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}\cdot 3$

ในทำนองเดียวกัน
$a+7b+c\leq \sqrt{a^{2}+7b^{2}+c^{2}}\cdot 3$
$a+b+7c\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}+7c^{2}}\cdot 3$

ดังนั้น $$LHS \leq \frac{3a}{7a+b+c}+\frac{3b}{a+7b+c}+ \frac{3c}{a+b+7c}=I $$

จะพิสูจน์ว่า Iฃ1 ก็เรียบร้อย

WLOG aณbณc

ดังนั้น 3aณ3bณ3c และ $\frac{1}{a+b+7c}\geq \frac{1}{a+7b+c}\geq \frac{1}{7a+b+c} $

ใช้ Rearrangement inequality 2 ครั้ง

$$\frac{3a}{a+b+7c}+\frac{3b}{7a+b+c}+\frac{3c}{a+7b+c} \geq I...(1)$$
$$\frac{3a}{a+7b+c}+\frac{3b}{a+b+7c}+\frac{3c}{7a+b+c} \geq I...(2)$$

(1)+(2)+7I จะได้ $$\frac{3(a+b+7c)}{a+b+7c}+\frac{3(b+c+7a)}{7a+b+c}+\frac{3(c+a+7b)}{a+7b+c}=3+3+3\geq 2I+7I $$ หรือ Iฃ1 ตามต้องการ

[M@gpie]

ขอแจมบ้างนะครับ
solve this equation \( z^6 +z^4+z^3+z^2+1=0 \)

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ขอแจมบ้างนะครับ
solve this equation \( z^6 +z^4+z^3+z^2+1=0 \)

จาก $z^6 +z^4+z^3+z^2+1=(z^4+z^3+z^2+z+1)(z^2-z+1)
=\frac{z^5-1}{z-1}\cdot\frac{z^3+1}{z+1}$จะได้ว่าคำตอบทั้งหมดของสมการนี้คือรากที่ห้าทั้งหมดของ 1 ยกเว้น 1 และรากที่สามทั้งหมดของ -1 ยกเว้น -1

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
3.(ทฤษฎีจำนวน) ให้ \( p_1 , p_2, ?, p_n \) เป็นลำดับของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{p_1}{p_2} + ... + \frac{p_{n-1}}{p_n} \]
ไม่เป็นจำนวนเต็ม

พิสูจน์โดยใช้ contradiction ครับ

สมมติให้\[n=\frac{p_1}{p_2}+\frac{p_2}{p_3}+\cdots+\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+
\frac{p_{n-1}}{p_n}\]เป็นจำนวนเต็ม และให้ \(q=p_2p_3\dots p_{n-1}\) ดังนั้น\[nq-
\frac{p_1q}{p_2}-\frac{p_2q}{p_3}-\cdots-\frac{p_{n-2}q}{p_{n-1}}
=\frac{p_{n-1}q}{p_n}\]จะเห็นว่าทางซ้ายมือของสมการเป็นจำนวนเต็มเพราะทุกพจน์เป็นจำนวนเต็ม แต่ว่าทางขวามือไม่ใช่จำนวนเต็ม จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้นครับ

[M@gpie]

โป๊ะเชะ ครับ คุณ nongtum อยากรู้ว่า แยกด้วยวิธีอะไร แหะๆๆ พอดีข้อนี้ผมทำแยกด้วยวิธีอื่น มีอีกข้อที่สงสัยครับ ไม่แน่ใจว่าเข้าใจผิดรึเปล่า ถ้าผิดช่วยแก้ไขด้วยนะคับ
โจทย์บอกว่า จงแยกตัวประกอบของ \( z^5+z+1 \)
วิธีทำคือ ให้ \( z^2+z+1 = 0 \) จะได้ว่า \( z^3 = 1 \) ดังนั้นสรุปได้ว่า \( z^5+z+1 = 0 \) นั่นคือ \( z^5+z+1 \) จะมี \( z^2+z+1 \) เป็นตัวประกอบ คือ งง ไปพักใหญ่ครับ ช่วยอธิบายด้วย

[passer-by]

ข้อ 10

แบ่งเป็น 2 กรณี

(1) p(x) มีรากต่างกัน 3 ราก (say , p(a)=p(b)=p(c)=0 (a<b<c) )

จาก Rolle's theorem จะมี c₁ in (a,b) and c₂ in (b,c) ซึ่ง

p^'(c₁)=p^'(c₂)=0

Apply Rolle's theorem again

ดังนั้น จะมี d in (c₁, c₂) ซึ่ง p^"(d)=0

แต่ p^"(x) เป็น linear function

ดังนั้น p^"(c₁) และ p^"(c₂) มี เครื่องหมายต่างกัน แสดงว่า p(x) มีทั้ง local max & local min ตามต้องการ ( กล่าวคือ ที่ c₁ และ c₂)

(2)p(x) มีรากต่างกันเพียง 2 ราก (say p(a)=p(b)=0 (a<b) )

จาก Rolle's theorem จะได้ว่ามี c in (a,b) ซึ่ง p^'(c)=0

ถ้า c เป็นเพียงรากเดียวของ p^'(x)=0 จะทำให้
p(x) อยู่ในรูปแบบ m(x-c)³+d โดย mน0
ซึ่งถ้า p(a)=p(b) แล้ว a=b เสมอ ซึ่งขัดแย้งกับ a<b

ดังนั้นต้องมี k นc ซึ่ง p^'(k)=0

เท่ากับว่าตอนนี้ p^'(c)=p^'(k)=0

แล้วก็อ้างแบบเดียวกับ กรณีที่ 1 ก็จะได้ p(x) มีทั้ง local min & local max

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
6.(Advanced Linear Algebra) ให้ A,B เป็น matrix ขนาด 3x3 โดยที่ \( A^4 = 0 \) และ ABA = BAB จงพิสูจน์ว่า I ? AB และ I ? BA เป็น invertible matrix

ให้ \(p(x)\) เป็น minimal polynomial ของ \(A\) ดังนั้น \(p(x)\) มีดีกรีไม่เกิน 3 และจากที่เรารู้ว่า \(A^4=0\) แสดงว่า \(p(x)\) หาร \(x^4\) ลงตัว ดังนั้น \(p(x)=x^n\) โดยที่ \(n\) อาจเป็น 1, 2 หรือ 3 ซึ่งแปลว่า \(p(A)=A^n=0\) และเราจึงสรุปได้ว่า \(A^3=0\)

ให้สังเกตว่า\[(AB)^4=A(BAB)A(BAB)=A(ABA)A(ABA)=A^2BA^3BA=
0\]ดังนั้น\[(I-AB)(I+AB+(AB)^2+(AB)^3)=I\]แสดงว่า \(I-AB\) เป็น invertible matrix

ทำนองเดียวกันเนื่องจาก\[(BA)^5=B(AB)^4A=0\]ดังนั้น\[(I-BA)(I+BA+(BA)^2+(BA)^3+
(BA)^4)=I\]นั่นคือ \(I-BA\) ก็เป็น invertible matrix ด้วยครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
อยากรู้ว่า แยกด้วยวิธีอะไร

ข้อนั้นแยกโดยการจับกลุ่ม $(z^6+z^3)+(z^4+z^2+1)$ แล้วแยกตัวประกอบทีละวงเล็บครับ

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
จงแยกตัวประกอบของ \( z^5+z+1 \)
...

วิธีด้านบนคิดว่าคงเป็นการแสดงการทดสอบว่า $z^2+z+1$ เป็นตัวประกอบ วิธีนี้เพิ่งเคยเห็นเหมือนกัน แต่หากเป็นผมคงจะทำแบบนี้ครับ:
$\begin{array}{rcl}
z^5+z+1&=&z^5+(z^4+z^3+z^2)+z+1-(z^4+z^3+z^2)\\
&=&z^3(z^2+z+1)+(z^2+z+1)-z^2(z^2+z+1)\\
&=&(z^3-z^2+1)(z^2+z+1)\\
\end{array}$

[M@gpie]

งืม เยี่ยมไปเลยคับ ได้มุมมอง การแยกตัวประกอบเพิ่มขึ้น ด้วย ขอบคุงงับ
ลองอีกซักข้อสองข้อนะงับ
จงแยกตัวประกอบของ
\( z^7 + z^5 +z^4+z^3+z^2+1 \)
\( s^9 + s^6 + s^3 + s^2 + 1 \)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
5.(ฟังก์ชัน) ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และนิยาม \( f : R^2 \rightarrow R^2 \) โดย
\[ f(x,y) = (ax+by,cx+dy) \]
จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

ไม่ทราบว่าข้อนี้คุณ nooonuii ต้องการให้ทำแบบนี้หรือเปล่า ขอลองเสี่ยงดูนะครับ

โดยการมองว่า \(\mathbb R^2\) เป็น vector space over \(\mathbb R\) แล้วเราจะได้ว่า \(f\) เป็น linear operator on \(\mathbb R^2\) ดังนั้นโดยอาศัยทฤษฎีบทที่คุณ nooonuii เคยอธิบายไว้ เราจะได้ว่าข้อความที่ต้องการพิสูจน์นั้นเป็นจริงในทันทีเลยครับ