คำถามภาคต่อที่เกิดจากกระทู้ ''Missing number?''

[nongtum]

ตามที่บอกในกระทู้เดิม ขอเปิดกระทู้ด้วยคำถามภาคต่อ จากคำถามเดิมของผมที่มีคนตอบได้แล้วนะครับ (reference แต่ละข้อมาจากลำดับข้อในกระทู้เดิม) กระทู้นี้ไม่จำกัดว่าคนตั้งคำถามในกระทู้เก่าจะต้องมาตั้งคำถามเอง(ใครก็ได้ครับ) ขอเพียงแค่คำถามที่ตั้งเกี่ยวกับคำถามเดิมในกระทู้เดิมครับ

01. (#29) สมมติว่านาฬิกาเรือนหนึ่งมีแต่เข็มยาวที่สามารถแกว่งกลับไปกลับมา (oscillate) ได้ เริ่มแรกเข็มยาวชี้ที่เลข 12 ตอนแรกให้เข็มยาวแกว่งไปตามเข็มนาฬิกา 1 นาที (6 องศา) จากนั้นเข็มก็ตีกลับไปชี้ที่นาทีที่ 58 (2 นาทีก่อนเลข 12) แล้วก็ตีกลับไปกลับมาในลักษณะเดียวกับข้อ 29 (หากไม่เข้าใจโปรดกลับไปดูเฉลยของคุณ passer-by ในกระทู้เดิม)
คำถาม เป็นไปได้หรือไม่ที่เข็มแกว่งไปและกลับไปหยุด ณ จุดเดียวกัน
และหากเปลี่ยนตัวฐาน(ในที่นี้คือสอง)เป็นจำนวนเต็มบวกตัวอื่น จะมีตัวฐานที่น้อยที่สุดที่เข็มแกว่งมาหยุดที่เดียวกันหรือไม่ (ถ้ามี โปรดระบุ)

02. (#55) ให้ a,b,k เป็นจำนวนนับ
ก. จากลำดับในข้อนี้ เราจะสร้าง i. (3k,k) ii. (3k,2k) ได้หรือไม่
ข. สำหรับในกรณีทั่วไป (ak,bk) เราสามารถสรุปหลักเกณฑ์เพื่อจะบอกว่าคู่อันดับนี้สร้างได้หรือไม่ อย่างไร
ค. จากบทสรุปในข้อ ข. จงสรุปว่า นอกจาก (2,2) แล้ว มีตัวไหนอีกที่ (n,n)

ภาคต่อของข้ออื่นๆจะตามมาเมื่อมีคนตอบคำถามในกระทู้เดิมได้ครับ (เว้นแต่ข้อ 16 ซึ่งได้ถามไปแล้ว)
Edit1: เพิ่มข้อ 02

[passer-by]

03. (#3) คำถามไม่ยากครับ ต่อเนื่องจากข้อ 3 ของผมเองใน missing numbers?

" เมื่อเขียนลำดับ ในข้อ 3 ต่อไปเรื่อยๆ จะเจอ เลขที่เกิน 1 พัน , 1 แสน ,1 ล้าน ในลำดับของผมหรือไม่ เพราะเหตุใด "

[nongtum]

ข้อ 03. ยังคิดไม่ออกครับ แต่สันนิษฐานไว้ก่อนว่าไม่มี ว่าจะลองใช้ prime number theorem พิสูจน์ดู

โจทย์ภาคต่อครับ
ในที่นี้หากไม่กล่าวเป็นอย่างอื่น ให้ a_n เป็นพจน์ที่ n ของลำดับในข้อนั้นๆ (n เป็นจำนวนเต็มบวก)

04. (#21.5) จากลำดับ 1, 5, 15, 34, 65, 111,... จะเขียน a_n ในรูปของ n ได้อย่างไร และลำดับนี้มีความหมายทางเรขาคณิตหรืออย่างอื่นหรือไม่ อย่างไร
05. (#47) จาก 00 - 99 เลขตัวใดบ้างที่เป็นเลขท้ายสองตัวของ square number (ขอแสดงแนวคิดด้วยนะครับ)
06. (#73) จงหาค่า n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ a_n มากกว่า i) 10000, ii) 1000000 iii) 10^k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวก iv) \(a_n\ge10n^2\)
07. (#74) ก. จงหาความสัมพันธ์(รวมถึงเงื่อนไขที่เป็นไปได้)ระหว่างจำนวนเต็มบวก m และ k ที่ทำให้ \(a_{2k-1}=ma_{2k}\)
ข. จากบทสรุปในข้อ ก. จงหา k เมื่อ m=1,2,3,4.

หากโจทย์มีปัญหา ถามได้ครับ

[passer-by]

มาตอบให้ 1 ข้อก่อนนะครับ

สำหรับข้อ 21.5 \[ \large a_{n}=\quad \frac{n^{3}+n}{2} \]

ส่วนความหมายเชิงเรขาคณิต ถ้าจำไม่ผิด รู้สึกจะเรียกว่า trapezoidal arrangement ซึ่งเป็นค่าที่ได้จากผลต่างของ triangular number

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
03. (#3) คำถามไม่ยากครับ ต่อเนื่องจากข้อ 3 ของผมเองใน missing numbers?

" เมื่อเขียนลำดับ ในข้อ 3 ต่อไปเรื่อยๆ จะเจอ เลขที่เกิน 1 พัน , 1 แสน ,1 ล้าน ในลำดับของผมหรือไม่ เพราะเหตุใด "

เจอครับ ขนาดของ prime gap สามารถเกิน 1000 ได้เพราะ

1002! + 2, 1002! + 3, 1002! + 4, ... , 1002! + 1002

ล้วนเป็นจำนวนประกอบทั้งสิ้น (เนื่องจาก a | 1002! + a เมื่อ a = 2, 3, ... , 1002)
prime gap ขนาดมากกว่า 1 แสน หรือ 1 ล้าน ก็ย่อมจะต้องเจอด้วยเหตุผลทำนองเดียวกันครับ

[passer-by]

คุณ warut ตอบถูก (อีกตามเคย) นะครับ

งั้นผมจะ generalize ให้อีกนิดก็แล้วกัน

" เพราะ (n+1)! +2, (n+1)!+3,...,(n+1)! +(n+1) เป็น composite numbers ทุก positive integer n ดังนั้น เราสามารถหา prime gap ขนาดอย่างน้อย n จำนวนได้เสมอ"

[nongtum]

ข้อ 04. ตอบถูกแล้วครับ
หากจะมองกันง่ายๆ คือ ตอนแรกสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าฐานยาว n(n+1)/2 หน่วย แล้วเอาสามเหลี่ยมด้านเท่าอันบนที่มีฐานยาว (n-1)(n-2)/2 หน่วยออก จะได้สี่เหลี่ยมคางหมูตามที่ต้องการ เพิ่มเติมดูได้ที่นี่ครับ