โจทย์แก้เบื่อ ค่าต่ำสุด/สูงสุด

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt[3]{1-x}$

กระจาย

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

จะเห็นค่าต่ำสุด

จากส่วนที่กระจายออกมา

ใช้อสมการ $(a-b)^2\geq 0$ จัดรูปให้เป็น $ab\leq \dfrac{1}{4}(a+b)^2$

แทนกลับเข้าไปจะสามารถจัดรูปเพื่อหาค่าสูงสุดได้

ขอสารภาพฮะว่าผมใช้ "แทนค่า" จริงๆฮะแหะๆ ผมรู้สึกสนใจวิธี "แบบจัดรูป" มากๆเลยครับ ผมรู้คล้ายๆจะเคยเรียนตอนอยู่ในค่ายสอวน.แต่ได้แต่นั่งงงในห้องเรียนอ่ะครับ รบกวนพี่nooonuiiช่วยแตกกระจายให้ชัดเจนขึ้นอีกได้มั้ยฮะ

[nooonuii]

$(a+b)^3=1+3ab(a+b)\geq 1$

$a+b\geq 1$

$(a+b)^3=1+3ab(a+b)\leq 1+ \dfrac{3}{4}(a+b)^3$

$a+b\leq\sqrt[3]{4}$

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

ขอบคุณฮะ เข้าใจมากขึ้นแล้วฮะ

ใครก็ได้ขอโจทย์เพิ่มนะฮะ(ร้อนวิชา:)

[nooonuii]

9. จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ

$\sqrt{x}-\sqrt{1-x}$ เมื่อ $ 0\leq x\leq 1$

[SolitudE]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

9. จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ

$\sqrt{x}-\sqrt{1-x}$ เมื่อ $ 0\leq x\leq 1$

จะใช่ 1 กับ -1 ไหมครับ

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

ให้$\sqrt{x} = a , \sqrt{1-x} = b$

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
$~~~~~~ = 1 - 2ab$
$a - b\leqslant 1$

$(a + b)^2 \geqslant 0$
$\frac{-1}{4}\times (a - b)^2\leqslant ab$
$(a - b)^2\geqslant 1 + \frac{1}{2}(a - b)^2 $
$\frac{1}{2}(a - b)^2\geqslant 2$
$a - b \geqslant -\sqrt{2} $

ค่าสูงสุดคือ 1 ต่ำสุดคือ$-\sqrt{2} $
ขอบคุณพี่nooonuiiสำหรับโจทย์ฮะ^^
ถูกผิดอย่างไงท่านผู้รู้ทุกท่านแนะนำด้วยนะฮะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ \+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/

ให้$\sqrt{x} = a , \sqrt{1-x} = b$

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
$~~~~~~ = 1 - 2ab$
$a - b\leqslant 1$

จริงๆแล้วจาก

$(a-b)^2\leq 1$

เราจะได้ทันทีว่า

$-1\leq a-b \leq 1$

ดังนั้นค่าสูงสุดคือ 1 ค่าต่ำสุดคือ -1 ครับ

[nooonuii]

10. จงหาค่าต่ำสุดของ $x^3-3x$ เมื่อ $x>0$

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

10. จงหาค่าต่ำสุดของ $x^3-3x$ เมื่อ $x>0$

hint:วิธีทำให้หน่อยนะฮะ T T (ยังเศร้าอยู่ว่าข้อเก่าทำผิด) ถ้าคิดแบบเด็กโง่(แทนค่าเหมือนเดิมT T)ผมขอตอบว่า-2ฮะ
อีกอย่างข้อนี้มันหน้าตาไม่เหมือนอันเก่าเลยฮะ(โจทย์แนวใหม่=วิธีคิดแบบใหม่แน่เลยอ่ะ)
ไม่ว่าจะใช้อสมการ$x > 0$
$x^3>0$
$3x>0$
แล้วมาลบกันจัดรูปให้เหมือนข้างบนก็ออกมาเป็น$x^3-3x>0$อยู่ดีอ่ะฮะ
T Tงงฮะช่วยแนะนำด้วยฮะ
แล้วข้อเก่าของผมรบกวนพี่ช่วยเน้นสีตรงที่ผิดให้หน่อยนะฮะ ยังงงอยู่นิดหน่อยว่า$-\sqrt{2}$มันมาผิดอย่างไง

T Tสุดท้ายก็ต่อสู้กับความโง่ของตัวเองไม่ไหวT Tเศร้าชีวิตจิงๆฮะ

[Jew]

-2 หรือปล่าวครับ
ดิฟเอา

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ \+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/

$\frac{1}{2}(a - b)^2\geqslant 2$
$a - b \geqslant -\sqrt{2} $

ไม่ได้ตรวจละเอียดนะครับ แต่เห็นสองบรรทัดนี้ที่ผิดอยู่

อสมการที่เราพิสูจน์ได้บางครั้งมันไม่ผิดนะครับ

แต่บางทีมันหยาบเกินไปที่จะเอามาหาค่าสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อได้อสมการมาเราต้องตรวจสอบด้วยว่าค่าสูงสุดต่ำสุดเกิดได้หรือไม่

ถ้าได้ก็จบ แต่ถ้าไม่ได้ก็ต้องหาอสมการใหม่ที่ดีกว่า

เผอิญว่าโจทย์ในกระทู้นี้เป็นโจทย์สำหรับเด็กม.ต้นน่ะครับ

ตามกติกาที่น้อง Scylla_Shadow ให้ไว้

การมองหาเงื่อนไขที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดต่ำสุดคงจะเป็นเรื่องยาก

อย่างโจทย์ข้อ 10 จะเป็นเรื่องง่ายสำหรับคนที่รู้จักอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

แต่สำหรับเด็กม.ต้น คงยากหน่อย

ข้อนี้ถ้าคิดแบบเด็กม.ต้น ก็ต้องเล่นกับพหุนามกำลังสามครับ

ลองใช้สูตรนี้ครับ $x^3-3a^2x+2a^3=(x+2a)(x-a)^2$

สำหรับโจทย์ข้อนี้ $a=1$ จึงได้

$x^3-3x=x^3-3x+2-2$

$~~~~~~~~~=(x+2)(x-1)^2-2$

$~~~~~~~~~\geq -2$

[Jew]

คือผมงงครับ
ว่าเราจะทราบได้อย่างไรว่าค่าที่ได้จากอสมการเป้นค่าตสุดจริงๆครับ
เพราะบางทีค่าที่ได้ก็หยาบไปน่ะครับ
ขอบคุณครับ
ขอโจทย์จัดรูปแบบขอเมื่อกี้หน่อยได้ไหมครับ
คือผมจัดรูปไม่ค่อยเก่ง
ขอบคุณมากๆเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

คือผมงงครับ
ว่าเราจะทราบได้อย่างไรว่าค่าที่ได้จากอสมการเป้นค่าตสุดจริงๆครับ
เพราะบางทีค่าที่ได้ก็หยาบไปน่ะครับ
ขอบคุณครับ
ขอโจทย์จัดรูปแบบขอเมื่อกี้หน่อยได้ไหมครับ
คือผมจัดรูปไม่ค่อยเก่ง
ขอบคุณมากๆเลยครับ

มันจะเป็นค่าต่ำสุดจริงๆ ถ้ามีค่า $x$ ที่ทำให้สมการเกิดขึ้นได้จริงครับ

อย่างในข้อ $10$ สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x=1$

11. จงหาค่าต่ำสุดของ $x^3-3x^2$ เมื่อ $x>0$

[~king duk kong~]

ผมไม่รู้ว่าถูกรึเปล่านะครับ คือห่างหายจากสอวน.ไปนาน
$x^3-3x^2=x^2(x-3)$
$~~~~~~~~~~~>-3$

ผมว่าน่าจะผิด แต่ลองแสดงดู

[Mathematicism]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

ผมไม่รู้ว่าถูกรึเปล่านะครับ คือห่างหายจากสอวน.ไปนาน
$x^3-3x^2=x^2(x-3)$
$~~~~~~~~~~~>-3$

ผมว่าน่าจะผิด แต่ลองแสดงดู

ผมว่าน่าจะ -4 นะครับ