Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 30 กรกฎาคม 2014, 21:22
pogpagasd pogpagasd ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 174
pogpagasd is on a distinguished road
Default [Junior Balkan MO 2000] ช่วยทีครับๆงงมาก

จงหาจำนวนเต็มบวก (x,y) ทั้งหมดที่ทำให้

$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 30 กรกฎาคม 2014, 22:19
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$
$(x+y)(2x^2+2y^2+xy)=2000-30xy$
$x+y=m,xy=n$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
$x^2+y^2=m^2-2n$
$m(2m^2-3n) =2000-30n$
$2m^3-2000=3n(m-10)$
$\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}=n $
เมื่อ $m\not= 10$
$n=\frac{2(m^3-1000)}{3(m-10)} $
$=\frac{2(m^2+10m+100)}{3} $
จะได้ว่า $n$ เป็นจำนวนเต็มเมื่อ $3$ หาร $m^2+10m+100$ ลงตัว
กำหนดให้ $m=3a+b$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $0\leqslant b \leqslant 2 $
$m^2+10m+100=(3a+b)^2+10(3a+b)+100$
$=9a^2+6ab+b^2+30a+10b+100$
$=(9a^2+6ab+30a+9b+99)+(b^2+b+1)$
พจน์นี้จะหารด้วย 3 ลงตัวเมื่อ $b^2+b+1$ หารด้วย 3 ลงตัว
$b=0,b^2+b+1=1$
$b=1,b^2+b+1=3$
$b=2,b^2+b+1=7$
ดังนั้นเรารู้แล้วว่า $m=3a+1$
$x=m-y$
$y(m-y)=n$
$my-y^2=n \rightarrow y^2-my+n=0$
$y=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n} }{2} $
มาพิจารณา $n$
$n=\frac{2((3a+1)^2+10(3a+1)+100)}{3} $
$=\frac{2(9a^2+6a+1+30a+10+100)}{3} $
$=6a^2+24a+74$

$y=\frac{(3a+1)\pm \sqrt{(3a+1)^2-4(6a^2+24a+74)} }{2} $
$=\frac{(3a+1)\pm \sqrt{-295-90a-15a^2} }{2}$

เดี๋ยวมาทำต่อครับ อยู่เวรครับ เหลือแต่หาขอบเขตของค่า $a$
ยังไปต่อไม่ได้ เดี๋ยวขอคิดในกระดาษก่อนครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

30 กรกฎาคม 2014 22:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 30 กรกฎาคม 2014, 23:03
Scylla_Shadow's Avatar
Scylla_Shadow Scylla_Shadow ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 1,151
Scylla_Shadow is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000$
$(x+y)(2x^2+2y^2+xy)=2000-30xy$
$x+y=m,xy=n$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
$x^2+y^2=m^2-2n$
$m(2m^2-3n) =2000-30n$
$2m^3-2000=3n(m-10)$
$\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}=n $
เมื่อ $m\not= 10$
สวัสดีค่ะ ดิฉันมีข้อสงสัยค่ะ

ทำไม m ถึงไม่สามารถเป็น 10 ได้หรือคะ
กับ ถ้าลองหาค่าต่ำสุดของ $\frac{2m^3-2000}{3(m-10)}-n $ ดีไหมคะ

สวัสดีค่ะ ขอตัวไปจิบชาก่อนนะคะ (ฝากบอกคนอื่นด้วยค่ะ ว่าอย่าทานขนมที่ดิฉันเสแสร้งทำตกไว้)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 31 กรกฎาคม 2014, 00:34
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

ไปเจอเฉลยมาแล้วครับ เขาแยกตัวประกอบเฉยๆครับตามภาพประกอบ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 31 กรกฎาคม 2014, 00:35
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

ตัวข้อสอบจากข้อสอบนี่ครับ
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 31 กรกฎาคม 2014, 18:59
pogpagasd pogpagasd ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 174
pogpagasd is on a distinguished road
Default

ขอบคุณคุณ Banker มากๆครับอิอิ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 31 กรกฎาคม 2014, 21:53
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pogpagasd View Post
ขอบคุณคุณ Banker มากๆครับอิอิ
ไหนคุณ Banker หรอครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 02 สิงหาคม 2014, 11:02
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากครับน้องScylla_shadow
ผมทำตอนนี้ใหม่
$2m^3-2000=3n(m-10)$
$2(m-10)(m^2+10m+100)-3n(m-10)=0$
$(m-10)\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$
จะได้ว่า $(m-10)=0$ หรือ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$
เดี๋ยวมาพิสูจน์ว่า $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] \not= 0$
ในกรณีที่ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ เราจะได้ว่า
$n=\frac{2(m^2+10m+100)}{3} $
และ $y^2-my+n=0$
$y=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n} }{2} $
มาพิจารณา $m^2-4n=m^2-\frac{8(m^2+10m+100)}{3}$
$=-\frac{(5m^2+80m+800)}{3}$
เนื่องจาก $m>0$ ดังนั้น $-\frac{(5m^2+80m+800)}{3}<0$
ดังนั้น เมื่อ $\left[\,2(m^2+10m+100)-3n\right] =0$ สมการ $y^2-my+n=0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ดังนั้นเหลือ $m=10$ กรณีเดียว
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

02 สิงหาคม 2014 12:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
เหตุผล: เพิ่มรายละเอียด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
IWYMIC 2000 Thamma ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 11 07 เมษายน 2015 20:20
โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ? กิตติ ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 109 24 กุมภาพันธ์ 2012 16:23
JUNIOR CALCULUS EXAMINATION คusักคณิm Calculus and Analysis 2 20 ตุลาคม 2008 17:29

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:54


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha