ช่วยทำโจทย์เรื่องฟังก์ชันหน่อยค่ะ (สมาคม ฯ 54)

[Poppy_G]

กำหนดให้ f : R --> R เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไข f(f(x)) = 5 - x สำหรับทุกจำนวนจริง x จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ f(0) + f(5)

[sahaete]

จาก $\quad f(f(x))=5-x$
แทนค่า $\quad x=0 \quad$ จะได้ $\quad f(f(0))=5 \quad$ หรือ $\quad f^{-1}(5)=f(0)=a$
แทนค่า $\quad x=5 \quad$ จะได้ $\quad f(f(5))=0 \quad$ หรือ $\quad f^{-1}(0)=f(5)=b$
แทนค่า $\quad x=a \quad \quad f(f(a))=5-a $
ทำให้ $\quad \quad f(5)=5-a=b \quad$ หรือ $\quad a+b=5$
หรือ $\quad f(0)+f(5)=5$

ขอคำแนะนำด้วยนะครับ

[gon]

นี่เป็นโจทย์สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลายปี 2554 ล่าสุดที่สอบไปนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

จาก $\quad f(f(x))=5-x$
แทนค่า $\quad x=0 \quad$ จะได้ $\quad f(f(0))=5 \quad$ หรือ $\quad f^{-1}(5)=f(0)=a$
แทนค่า $\quad x=5 \quad$ จะได้ $\quad f(f(5))=0 \quad$ หรือ $\quad f^{-1}(0)=f(5)=b$
แทนค่า $\quad x=a \quad \quad f(f(a))=5-a $
ทำให้ $\quad \quad f(5)=5-a=b \quad$ หรือ $\quad a+b=5$
หรือ $\quad f(0)+f(5)=5$

ขอคำแนะนำด้วยนะครับ

ถ้าคุณ sahaete ใช้ฟังก์ชันผกผันช่วย คงต้องแสดงหรือพิสูจน์ก่อนว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งใช้นิยามโดยตรงดังนี้

สมมติให้ $f(x_1) = f(x_2)$ แล้วถ้า take f จะได้ว่า $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$

แต่จากนิยามของฟังก์ชันที่โจทย์ให้มา จะได้ว่า $$5-x_1 = 5-x_2$$ ซึ่งแสดงว่า $$x_1 = x_2$$ จึงสรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

แต่ถ้าไม่ใช่ฟังก์ชันผกผันช่วย อาจจะคิดแบบนี้ก็ได้ครับ
จากที่กำหนดให้ $f(f(x)) = 5-x$

ถ้าเรา take f เข้าไปทั้งสองข้าง จะได้ $f(f(f(x))) = f(5-x) ... (*)$

จากนั้นทางด้านซ้ายมือของสมการ (*) ก็ประยุกต์ที่โจทย์ให้มาซ้ำอีกที ก็จะได้ว่า $$f(f(f(x))) = 5 - f(x)$$เมื่อแทนกลับลงในสมการ (*) จึงได้ว่า $5 - f(x) = f(5-x)$

นั่นก็คือ $f(x) + f(5-x) = 5$ เสมอ แล้วเมื่อแทน $x = 5$ หรือ $x = 0$ ก็จะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการครับ.

[Poppy_G]

ขอบคุณมากเลยนะค่ะ

[sahaete]

ขอบคุณมากครับ ต่อการแนะนำ