สมการเชิงฟังก์ชันครับ

[Suwiwat B]

นั่งรื้อๆเอกสารที่บ้านอยู่ เเล้วก็เจอข้อที่ยังไม่ได้คิด เลยลองหยิบมาคิดๆดู คิดไม่ออกสักทีครับ
จงหา $f:R\rightarrow R$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเเละสอดคล้อง
$f(x+2f(y)) = f(x)+f(y)+y$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$f(x)=x$ ,,,,,,

[Suwiwat B]

ผมนั่งมั่วไปๆมาๆถึงตี 4 ออกมาเเบบนี้อะครับ ลืมอะไรไปหลายอย่าง
สลับ $x,y$ จะได้ $f(y+2f(x)) = f(x) + f(y)+x$ $..... (1)$
เเทน $y$ ด้วย $x+2f(y)$ ในสมการโจทย์ เเละใช้สมการของโจทย์ไปเรื่อยๆ จะได้
$f(x+2f(x+2f(y))) = f(x) + f(x+2f(y))+x+2f(y)$
$f(x+2f(x)+2f(y)+2y) = f(x)+f(x)+f(y)+y+x+2f(y)$
$f(x+2f(x)+2y)+f(y)+y = 2f(x)+3f(y)+x+y$
จาก $(1)$ จะได้ $f(x)+f(x+2y)+x+f(y)+y=2f(x)+3f(y)+x+y$
$f(x+2y)=f(x)+2f(y)$
คือได้ถึงตรงนี้เเล้วผมเดาว่ามันน่าจะสอดคล้องสมการโคชีอะครับ เเต่ผมทำเเบบนี้ต่อ
หาอนุพันธ์เทียบ $x$ ทั้งสองข้าง จะได้
$f'(x+2y)=f'(x)$
นั่นคือสำหรับเเต่ละจำนวนจริง $y$ จะพบว่า $f'(x)$ เป็นค่าคงที่
ดังนั้น $f'(x) = a$ สำหรับทุก $x$ ที่เป็นจำนวนจริง
$f(x) = ax+b$ เเทนค่ากลับไปจะได้ $f(x) = -\frac{1}{2}x$ หรือ $f(x) = x$
เเทนค่ากลับพบว่าเป็นจริง

[~ArT_Ty~]

ต่อจากของพี่ Suwiwat B ฮะ ผมคิดได้อีกวิธีนึง คือ

จาก $f(x+2y)=f(x)+2f(y)$

แทนทั้ง $x,y$ เป็น $0$ จะได้ว่า $f(0)=0$

แทน $x=0$ จะได้ $f(2y)=2f(y)$

แสดงว่า $f(x+2y)=f(x)+f(2y)$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี

ได้ว่า $f(x)=cx$ โดยที่ $c$ เป็นค่าคงที่ แทนค่าในสมการเริ่มต้นก็จะได้ $f(x)=x$ และ $f(x)=-\frac{x}{2}$ ครับ

ป.ล. มีโจทย์อีกมั้ยครับ

[Suwiwat B]

เอ้ยมันง่ายขนาดนี้เลย 5555 มองไม่ออกไม่ได้ทำมานาน ผมว่าเดี๋ยวผมได้มาถามอีกเเน่ๆรอก่อนนะครับ
ว่าเเล้วโจทย์ก็มาเลย ... อีก 2 ข้อเเล้วกันนะครับ จริงๆมีอีกเยอะเลย
1. จงหาฟังก์ชัน $f:Z\rightarrow Z$ ที่ทำให้ $\forall m\in Z$ : $f(f(m)) = m+1$

2. จงหาฟังก์ชัน $f,g,h_1,h_2$ ทั้งหมดซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจาก $R$ ไปยัง $R$ เเละสอดคล้องสมการ
$ f(x+y) = g(x)+h_1(x)h_2(y) $

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

ข้อ 1. f(f(m)) = m + 1

ดังนั้น f(m) = m + 0.5 ตอบ
f(f(m)) = f(m + 0.5) = m + 0.5 + 0.5 = m + 1

แต่ผมไม่รู้ว่า ข้อนี้มีคำตอบเดียวหรือเปล่า
อาจมีหลายคำตอบก็ได้

f เป็น Z ไป Z นะครับ น่าจะตอบว่าไม่มีคำตอบ

วิธีทำ ข้อ 1
แทน $m=f(m)$ ลงในสมการที่โจทย์ให้มาจะได้ $f(f(f(m)))=f(m)+1$
จาก $f(f(m))=m+1$
$\therefore f(m+1)=f(m)+1$
อุปนัยได้ $f(m)=m+f(0)\ \ \forall m\in \mathbb{Z}$
แทนต่ากลับหา $f(0)$ ได้ $m+2f(0)=m+1$
จะได้ $f(0)=\frac{1}{2}\not\in \mathbb{Z}$ แต่ $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ ขัดแย้ง
ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้อง

[PP_nine]

#3 ฟังก์ชันต่อเนื่องก็จริง แต่ไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้นะ

(เช่น $f(x)=|x|$)
____________________________________________________

อีกวิธีหนึ่ง

แทน $x=y-2f(y)$ ได้สมการ $f(y)=f(y-2f(y))+f(y)+y$

จัดรูปได้ $f(y-2f(y))=-y$

หรือก็คือ $f(-y-2f(-y))=y$

แปลว่า $f$ onto $\mathbb{R}$

แสดงได้ไม่ยากว่า $f(k)=0$ มีคำตอบเดียวคือ $k=0$


จากสมการเดิม แทน $y$ ด้วย $-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$

เพื่อให้ $f\Big[-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)\Big]=\dfrac{y}{2}$

ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+\dfrac{y}{2}-\dfrac{y}{2}-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$

หรือก็คือ $f(x+y)=f(x)-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$ ---------------------------(*)

แทน $x=0$ ได้ $f(y)=-2f\Big(-\dfrac{y}{2}\Big)$

เอาสมการนี้แทนลงใน (*) ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$

และใช้ผลของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเพื่อแสดงว่าสอดคล้องสมการโคชี

ที่เหลือก็แก้ได้ง่ายแล้วครับ

[Suwiwat B]

โอ้วขอบคุณ PP มากๆ ดูง่ายดีเหมือนกันครับ
ผมเอามาอีกข้อนึง ไม่น่าจะยากมาก
จงหาฟังก์ชัน f บนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่
$f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2 + y$

[sahaete]

\[\begin{array}{l}
P\left( {x,y} \right)\quad \Rightarrow \quad f\left( {xf\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} + y\\
\exists a,f\left( a \right) = 0\\
P\left( {a,x} \right)\quad \Rightarrow \quad f\left( {af\left( a \right) + f\left( x \right)} \right) = {\left( {f\left( a \right)} \right)^2} + x\\
\quad \quad \quad \quad \Rightarrow \quad f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\\
P\left( {f\left( x \right),y} \right)\quad \Rightarrow \quad f\left( {f\left( x \right)f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( y \right)} \right) = {\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)^2} + y\\
{\kern 1pt} \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \quad f\left( {xf\left( x \right) + f\left( y \right)} \right) = {x^2} + y\\
P\left( {f\left( x \right),y} \right) = P\left( {x,y} \right)\\
\quad \quad \quad \quad \quad \Rightarrow f\left( x \right) = x
\end{array}\]

[Euler-Fermat]

ตรงบรรทัดสุดท้ายได้ว่า $(f(x)-x)(f(x)+x) = 0$
สำหรับแต่ละ $x$ จะได้ว่า $f(x) = x , -x$
$\therefore$ อาจจะมีฟังก์ชัน ที่ $f(1) = 1$ แต่ $f(2) = -2$ ก็ได้

[Suwiwat B]

ตรงนี้เเหละครับ .. ผมจะเเสดงยังไงว่ามันเเยกกัน ???