โจทย์จาก IJSO ขอวิธีคิดหน่อยครับ ผมโง่

[Mwit22#]

1.ถ้าขณะนี้เป็นเวลา 9.00 น. แล้วเข็มยาวกับเข็มสั้นจะตั้งฉากกันอีกกี่นาทีข้างหน้า

2.ถ้าวางวงกลมสามวงที่มีรัศมีเท่ากันให้สัมผัสซึ่งกันและกัน และแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วยได้ แล้ววงกลทื้งสามนี้จะมีรัศมียาวกี่หน่วย

3.ABCDEF เป็นรูปหกเหลี่ยนด้านเท่ามุมเท่า ส่วนของเส้นตรง AC และ BF ตัดกันที่จุด P ถ้าสามเหลี่ยม ABP มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย แล้วรูปหกเหลี่ยมนี้จะมีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

4.ครึ่งวงกลมรัศมี 5 หน่วย แนบในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยมีด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ถ้าลากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม แล้วส่วนของเส้นทแยงมุมที่อยู่ภายนอกครึ่งวงกลมมีความยาวกี่หน่วย

5.ปิระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความสูง 3 หน่วย ถ้าทุกหน้าของปอระมิดนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แล้วปิระมิดนี้จะมีปริมาตรกี่ลบ.หน่วย

6.ถ้าทรงกลมรัศมี 2 หน่วยแนบในปริซึมฐานสามเหลี่ยมที่มีเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมยาว 30 หน่วย แล้วปริซึมนี้จะมีปริมาตรกี่ลบ.หน่วย

7.ถังน้ำมันรูปกรวยกลมใบหนึ่ง วัดเส้นรอบวงปากถังได้ 4 เมตร ถ้ามองเห็นน้ำมันอยู่ต่ำกว่าปากถัง 3 เมตร และเส้นรอบวงที่ระดับน้ำมันวัดได้ 2 เมตร แล้วน้ำมั้นที่อยู่ในถังมีปริมาตรกี่ลบ.ม.

8.วางทรงกลมรัศมี 3 หน่วย จำนวน 3 ลูก บนพื้นราบให้ทรงกลมทั้งสามสัมผัสซึ่งกันและกัน ถ้าต้องการครอบทรงกลมเหล่านี้ด้วยฝาชีรูปครึ่งทรงกลมที่มีขนาดเล็กที่สุด แล้วฝาชีจะมีรัศมีกี่หน่วย

9.ถ้าเฉือนมุมทั้ง 8 มุมของลูกบาศก์ลูกหนึ่งทิ้ง โดยเฉือนแต่ละมุมด้วยระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลางของเส้นขอบทั้งสามเส้นที่จวบกันที่มุมนั้น แล้วอัตราส่วนระหว่างปริมาตรของส่วนที่เฉือนทิ้งไปต่อปริมาตรของลูกบาศก์เดิมจะมีค่าเท่าไร

10.ถ้า 3(sin A + cos A)=4 แล้ว 7(tan A + cot A)มีค่าเท่าไร

11.รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ถ้า 5 cot B=24 cosec A แล้ว sec A มีค่าเท่ากับข้อใด

12.หนอนสองตัวอยู่ห่างกัน 10 เมตรบนพื้นราบ และมีต้นไม้ต้นหนึ่งอยู่ระหว่างหนอนทั้งสอง ถ้าหนอนแต่ละตัวเห็นยอดต้นไม้เป็นมุมเงย 30\odot และ 45\odot แล้วต้นไม้ต้นนี้สูงกี่เมตร

[คusักคณิm]

ดูใน My math เล่มล่าสุดเลยนะครับ

[กิตติ]

10.ถ้า 3(sin A + cos A)=4 แล้ว 7(tan A + cot A)มีค่าเท่าไร

คิดได้18
ผมใช้วิธีแปลง$(tan A + cot A)$ก่อน แปลงให้อยู่ในรูป$sin กับ cos$จะได้ว่า
$tan A + cot A = \frac{1}{sinA.cosA} $....ตรงนี้ขอลัดไปเลยเนาะ
กลับมามอง$sinA+cosA$....ก็เข้าสูตรยกกำลังสองให้ได้$sin^2 A+cos^2 A =1$ ตามที่ใช้กัน
$sin A + cos A= \frac{4}{3} $
จับยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ ขอลัดเลย $1+2sinAcosA= \frac{16}{9} $
$sinAcosA = \frac{7}{18} $....นำไปแทนค่าในสิ่งที่โจทย์ถาม
$tan A + cot A = \frac{1}{sinA.cosA} = \frac{18}{7} $
$7(tan A + cot A) = 18$

[Siren-Of-Step]

$tanA + cotA = \frac{sin^2A+cos^2A}{sinAcosA}$ ไม่ใช่หรอครับ

โทดทีครับ เห็นละ ลืมดู ลัดไปนี่เอง Use from Identity $sin^2\Theta + cos^2\Theta =1$

[กิตติ]

11.รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ถ้า 5 cot B=24 cosec A แล้ว sec A มีค่าเท่ากับข้อใด

จากโจทย์เป็นการบอกว่า มุมAกับBรวมกันได้ $90$องศา ซึ่งเรารู้ว่า $sin(90-A)=cosA$และ$cos(90-A)=sinA$
$A+B = 90$....$B = 90-A$
$5 cot B=24 cosec A$.....แปลงให้ดูดีก่อน
$\frac{5cosB}{sinB} =\frac{24}{sinA} $
$sinB = cosA และ cosB=sinA$ แทนค่าลงไป
$\frac{5sinA}{cosA} =\frac{24}{sinA} $
$5sin^2 A = 24cosA$
$5(1-cos^2 A)-24cosA=0$
$5-24cosA-5cos^2 A =0$.....ให้$cosA =x$
$5-24x-5x^2 =0$
$(5+x)(1-5x)=0$....$x= -5 หรือ x=\frac{1}{5} $ แต่ค่าcosอยู่ระหว่าง $-1$ ถึง $1$
เลือกค่า$x$=$\frac{1}{5} $
$cosA= \frac{1}{5} $
โจทย์ถามค่าของ$secA =\frac{1}{cosA} $ $=5$

[Mwit22#]

a + b = 90 องศา

มาจากไหนอะครับ

อธิบายที

ผมโง่มาก

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mwit22#

a + b = 90 องศา

มาจากไหนอะครับ

อธิบายที

ผมโง่มาก

ฺ$B = 90"$ $A+C = 90"$ เพราะ จากทฤษฎีบทที่ว่า มุมภายในสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180"$

[Mwit22#]

อ๋อ

แล้วทำไงต่อครับ

[Siren-Of-Step]

วาดรูปจะง่ายที่สุด

[Mwit22#]

ขอบคุณมากครับ

ใครทำข้อ 9 เป็นบ้างครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mwit22#

9.ถ้าเฉือนมุมทั้ง 8 มุมของลูกบาศก์ลูกหนึ่งทิ้ง โดยเฉือนแต่ละมุมด้วยระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลางของเส้นขอบทั้งสามเส้นที่จวบกันที่มุมนั้น แล้วอัตราส่วนระหว่างปริมาตรของส่วนที่เฉือนทิ้งไปต่อปริมาตรของลูกบาศก์เดิมจะมีค่าเท่าไร

ให้ลูกบาศก์มีด้านยาวด้านละ 2 หน่วย จะมีปริมาตร 8 ลบ.น.

แต่ละมุมที่โดนเฉือน มีปริมาตร $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 \times 1\times 1 = \dfrac{1}{6}$

แปดมุมก็เท่ากับ $\dfrac{8}{6}$

$\dfrac{อัตราส่วนระหว่างปริมาตรของส่วนที่เฉือนทิ้งไป}{ปริมาตรของลูกบาศก์เดิม} = \dfrac{\dfrac{8}{6}}{8} = \dfrac{1}{6}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mwit22#

7.ถังน้ำมันรูปกรวยกลมใบหนึ่ง วัดเส้นรอบวงปากถังได้ 4 เมตร ถ้ามองเห็นน้ำมันอยู่ต่ำกว่าปากถัง 3 เมตร และเส้นรอบวงที่ระดับน้ำมันวัดได้ 2 เมตร แล้วน้ำมั้นที่อยู่ในถังมีปริมาตรกี่ลบ.ม.

สามเหลี่ยมคล้าย จะได้$ h=3$

ปริมาตร = $\frac{1}{3} \pi (\frac{1}{\pi })^2 \times 3 = \frac{7}{22}$ ลบ.ม.