การบ้าน 2 ข้อครับผม

[supermans]

1. $\frac{3}{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 }$ จงทำให้ตัวส่วนไม่มีราก

2. $\left[\,2+\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}$ + $\left[\,2-\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}$ มีค่าเท่ากับเท่าไร





ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

สลายจางหายไป

[t.B.]

Hint:
ข้อ1) ทำส่วนให้เป็นผลบวกกำลังสาม
ข้อ2) มองแต่ละวงเล็บเป็นตัวแปร x,y จะได้ความสัมพันธ์ $x^3+y^3=4=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)$
แล้วแก้สมการหา (x+y) <<โจทย์ถาม x+y

ปล.เดี๋ยวนี้มัธยมปลายยังมีโจทย์รูทๆอยู่อีกหรอครับเนี่ย ไม่ค่อยเจอ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ปล.เดี๋ยวนี้มัธยมปลายยังมีโจทย์รูทๆอยู่อีกหรอครับเนี่ย ไม่ค่อยเจอ

มีครับ อยู่ในเนื้อหา ม.5 เรียนก่อนฟังก์ชันเอ็กโปครับ

[jabza]

คูณ1/3 เข้ามาข้างใน
=[33?231+1031?321] +[ 33?231−1031?321] ผมขอแย้งบรรทัดนี้ ผมคิดว่าผิด คูณ1/3เลขยกกำลังไมได้ เพราะว่าในวงเล็บมีเครื่องหมาย บวกอยู่ ชว่ยเช็คดูอีกครั้ง.

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

Hint:
ข้อ1) ทำส่วนให้เป็นผลบวกกำลังสาม

ข้อ $1$
แนวคิดตามที่อ้างอิงเลยครับ
จงทำให้ส่วนไม่ติดราก $\frac{3}{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 }$
แนวคิด จาก $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})$
และจากตัวส่วนของเรา ที่เรามีคือ $\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 $ จากการสังเกตุเราเห็นว่า $\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1=([2^{\frac{2}{3}}]^{2}-[2^{\frac{2}{3}}][1]+1^{2})$
ซึ่งมีลักษณะคล้ายๆ $(a^{2}-ab+b^{2})$ เราต้องหา $(a+b)$ มาเติมเข้าไปซึ่งจะทำให้ได้เป็นผลบวกกำลังสาม ซึ่งก็คือ $(2^{\frac{2}{3}}+1)$ จากโจทย์เราจะได้
$$\frac{3}{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 }$$
$$\frac{3}{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 }=\frac{3}{([2^{(\frac{2}{3})}]^{2}-[2^{(\frac{2}{3})}][1]+[1^{2}])}\cdot \frac{(2^{\frac{2}{3}}+1)}{(2^{\frac{2}{3}}+1)}$$
$$\frac{3}{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 }=\frac{3(2^{\frac{2}{3}}+1)}{(2^{\frac{2}{3}})^{3}+1^{3}}$$
$$\frac{3}{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1 }=\frac{3\sqrt[3]{4}+3}{5}$$

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

คูณ1/3 เข้ามาข้างใน
=[33?231+1031?321] +[ 33?231−1031?321] ผมขอแย้งบรรทัดนี้ ผมคิดว่าผิด คูณ1/3เลขยกกำลังไมได้ เพราะว่าในวงเล็บมีเครื่องหมาย บวกอยู่ ชว่ยเช็คดูอีกครั้ง.

อ่อ ครับใช่ๆ คูณไม่ได้ ลืมไป

[jabza]

ข้อ2ผมได้คำตอบ=2 .ใช้วิธีคิดแบบพื่t.b. อีก2คำตอบ หาค่าไม่ได้.

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ข้อ 2 นะครับ เผื่อไม่เข้าใจ ทำตามวิถีพี่ t.b. นะครับ
2. $\left[\,2+\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}$ + $\left[\,2-\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}$ มีค่าเท่ากับเท่าไร

SoLuTiOn ให้$\left[\,2+\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}=x$และ$\left[\,2-\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}=y$
จะได้ $x^3+y^3=2+\frac{10}{\sqrt{27}}+2-\frac{10}{\sqrt{27}}=4$
ได้$x^3+y^3=4=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ ทำพจน์หลังให้เป็นกำลังสองสัมบูรณ์ แต่ต้องทำให้เป็นบวกจะได้คล้ายกับพจน์หน้า
$x^3+y^3=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)$ ที่ต้อง $-3xy$ เพราะเดิมมี$-xy$แต่เราทำให้เป็น$+2xy$ เพื่อให้จัดเป็นกำลังสองสัมบูรณ์ได้ดังนั้นต้อง$-3xy$ เพื่อให้มีค่าเท่าเดิม
$x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)$
คราวนี้เราจะมาหา $3xy$ เพื่อไปแทนค่านะครับ
$3xy=3\left[\,2+\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3} \bullet \left[\,2-\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}$
$3xy=3\left[\frac{108-100 }{27} \right]^\frac{1}{3}$
$3xy=3\left[\frac{8 }{27} \right]^\frac{1}{3}$
$3xy=3\left[\frac{2^3 }{3^3} \right]^\frac{1}{3}$
$3xy=3\left[\frac{2}{3} \right]$
ดังนั้น $3xy=2$ แทนค่า$3xy$
ได้$x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)=(x+y)((x+y)^2-2)$
สมมุติให้ $(x+y)=A$
ได้$x^3+y^3=A(A^2-2)=4$
$A^3-2A-4=0$จากทฤษฎีเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์จะได้
$(A-2)(A^2+2A+2)=0$ ได้คำตอบคือ $A=2$ เพราะพจน์หลังไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเพราะ $b^2-4ac<0$
$A=x+y=2$
ดังนั้น $\left[\,2+\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}$ + $\left[\,2-\frac{10}{\sqrt{27} } \right]^\frac{1}{3}=2$
หวังว่าละเอียดพอนะครับ พอดีช่วงนี้ผมเจอครูคณิตศาสตร์ที่เน้นวิธีทำดังนั้นทุกอย่างต้องตามขั้นตอน