Maximum

[จูกัดเหลียง]

ให้ \(n\geq2\) และ \( x_1,\ldots,x_n\geq0 \) โดย \( x_1+\cdots+x_n=1 \) จงหาค่าสูงสุดของ
\[
\sum_{i<j}x_ix_j(x_i^3+x_j^3)
\]

[จูกัดเหลียง]

ใช่ $\dfrac{2(n-1)}{n^5}$ ป่ะครับ
ที่ผมทำมันประมาณนี้อ่ะครับ เดาว่า $x^4-x^5\le \dfrac{4n-5}{n^4}x+\dfrac{4-3n}{n^5}\leftrightarrow n^2(x-\dfrac{1}{n})^2(n^3x^3+(2n^2-n^3)x^2+(3n-n^2)x+4-3n)\ge 0$
$$\sum_{0<i<j\le n} x_ix_j =\sum_{i} x^4-x^5\le \sum_{i}\frac{4n-5}{n^4}x+\frac{4-3n}{n^5}=\frac{2(n-1)}{n^5}$$
คือผมค่อนข้างมั่นใจว่า $n^2(x-\dfrac{1}{n})^2(n^3x^3+(2n^2-n^3)x^2+(3n-n^2)x+4-3n)\ge 0$ เเต่ก็เเสดงไม่ด้

[PP_nine]

อสมการสุดท้ายแทน $n=2$ ยังไม่จริงนะครับ

[kongp]

ผมว่าต้องแก้โดยพีชคณิตของโอเปอเรเตอร์ O ในวิชาคอมบินาทอริคนะ แต่จะหาเปเปอร์โดนๆ มาแก้โจทย์ข้อนี้คงหาตาเหลือก ใครสะสมไว้ช่วยแชร์ด้วยครับ

[Keehlzver]

เปลี่ยนเลขชี้กำลังจากเลข 3 เป็นเลข 2 คำตอบจะเป็น $\frac{1}{8}$ ผมว่าลองเชคแหล่งโจทย์ดูนะครับว่าใช่เลข 3 จริงๆหรือเปล่า ถ้าใช่เลข 3 จริงๆก็ยาวครับ

แต่ถ้าเป็นเลข 2 มันคือโจทย์ IMO1999 ข้อ 2
กำหนดให้ $n\geq 2$ และ $x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq 0$ จงหาค่า $C$ น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการดังกล่าวเป็นจริง

$$\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2) \leq C(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^4$$

รู้ได้ไงว่าเป็น $\frac{1}{8}$ ลองแทน $n=2$ ดูก่อน ได้เป็น $ab(a^2+b^2)\leq C(a+b)^4$ อยากรู้ $C$ ลองแทน $a=b=1$ $(1)(1)(1+1)=C(1+1)^4$ ได้ $C=\frac{1}{8}$ เดาว่าเป็น 1/8 ก็ไปเขียนบทพิสูจน์ต่อ
ลองไปเชคดูนะครับว่า เป็นเลข 2 หรือ 3 กันแน่