ถามโจทย์ กสพท ข้อนึงครับ

[iMsOJ2i2y]

กำหนด x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0

$p(x)$ เป็นพหุนามที่มีสมบัติ $P(x)P(\frac{1}{x}) = P(x) + P(\frac{1}{x})$

จงหา $P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)$

ช่วยๆกันคิดหน่อยนะครับ

[ครูนะ]

ถ้ากำหนด x = 1 จะได้ P(1)P(1) = 2P(1) ซึ่งยังสรุปไม่ได้ว่า P(1) = 2 เพราะ P(1) อาจจะเท่ากับ 0

ให้ x เป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ี 0

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ P(x)P(1/x)P(x)P(1/x) = P(x)P(x) + 2P(x)P(1/x) + P(1/x)P(1/x) ---- (*)

จากโจทย์ P(x)P(1/x) = P(x) + P(1/x) แทนใน (*) จะได้ว่า

P(x) + P(1/x) + P(x) + P(1/x) = P(x)P(x) + 2P(x)P(1/x) + P(1/x)P(1/x)

2[P(x) + P(1/x)] = P(x)P(x) + 2P(x)P(1/x) + P(1/x)P(1/x)

2P(x)P(1/x) = P(x)P(x) + 2P(x)P(1/x) + P(1/x)P(1/x)

จะได้ 0 = P(x)P(x) + P(1/x)P(1/x)

ดังนั้น P(x)P(x) = 0 ที่ทุก x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0

จึงได้่ว่า P(x) = 0 ที่ทุก x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0

เพราะฉะนั้น P(1) + P(2) +...+ P(5) = 0

รบกวนผู้รู้อีกทีครับ ช่วงนี้ผมโง่ๆ ยังไงไม่รู้

[กิตติ]

$P(x)P(\frac{1}{x})P(x)P(\frac{1}{x}) = P(x)P(x) + 2P(x)P(\frac{1}{x}) + P(\frac{1}{x})P(\frac{1}{x}) ---- (*)$

จากโจทย์ $P(x)P(\frac{1}{x}) = P(x) + P(\frac{1}{x}) $แทนใน (*) จะได้ว่า

$2P(x)P(\frac{1}{x}) = P(x)P(x) + 2P(x)P(\frac{1}{x}) + P(\frac{1}{x})P(\frac{1}{x})$.....(**)

ผมงงตรงนี้ครับ...(**) เราแทนไปที่ด้านซ้ายมือของสมการก็จะเป็น
$(P(x)P(\frac{1}{x}))(P(x)+P(\frac{1}{x})) = P(x)P(x) + 2(P(x)+P(\frac{1}{x})) + P(\frac{1}{x})P(\frac{1}{x})$

$(P(x))^2P(\frac{1}{x})+P(x)(P(\frac{1}{x}))^2=P(x)\left\{\,P(x)-2\right\} +P(\frac{1}{x})\left\{\,P(\frac{1}{x})+2\right\} $

$P(x)\left\{\,P(x)-2-P(x)P(\frac{1}{x})\right\} = P(\frac{1}{x})\left\{\,P(x)P(\frac{1}{x})-P(\frac{1}{x})-2\right\} $

$-P(x)\left\{\,P(\frac{1}{x})+2\right\} = P(\frac{1}{x})\left\{\,P(x)-2\right\} $

รบกวนช่วยแสดงให้ดูหน่อยครับว่ามันมาเป็น....(**) ได้ยังไงครับ ผมตามไม่ทัน

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมงงตรงนี้ครับ...(**) เราแทนไปที่ด้านซ้ายมือของสมการก็จะเป็น
$(P(x)P(\frac{1}{x}))(P(x)+P(\frac{1}{x})) = P(x)P(x) + 2(P(x)+P(\frac{1}{x})) + P(\frac{1}{x})P(\frac{1}{x})$

$(P(x))^2P(\frac{1}{x})+P(x)(P(\frac{1}{x}))^2=P(x)$ $\left\{\,P(x)-2\right\}$$ +P(\frac{1}{x})\left\{\,P(\frac{1}{x})+2\right\}

$P(x)\left\{\,P(x)-2-P(x)P(\frac{1}{x})\right\} = P(\frac{1}{x})\left\{\,P(x)P(\frac{1}{x})-P(\frac{1}{x})-2\right\} $

$-P(x)\left\{\,P(\frac{1}{x})+2\right\} = P(\frac{1}{x})\left\{\,P(x)-2\right\} $

รบกวนช่วยแสดงให้ดูหน่อยครับว่ามันมาเป็น....(**) ได้ยังไงครับ ผมตามไม่ทัน

ทำไมเป็นลบล่ะครับ
จริงๆแล้วสมการแรกที่โจทย์ให้มาเราถือว่าเป็นจริง พอยกกำลังสองสมการก็ยังคงเป็นจริงอยู่
แม้เราจะแทนค่าสมการแรกลงไปอีกทีสมการก็จะยังคงเป็นจริงอยู่นะครับ
เหมือนวิธีการนี้ไม่ได้ช่วยอะไรเลยนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ iMsOJ2i2y

กำหนด x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0

$p(x)$ เป็นพหุนามที่มีสมบัติ $P(x)P(\frac{1}{x}) = P(x) + P(\frac{1}{x})$

จงหา $P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)$

ช่วยๆกันคิดหน่อยนะครับ

จะมาบอกว่าโจทย์ให้ข้อมูลไม่ครบครับ ต้องมี $P(\frac{1}{2}) = \frac{7}{8} $

[กิตติ]

คุณpoper...ไม่ต้องงงหรอกครับ ก็เพราะผมลงเครื่องหมายผิดเองครับ.....