|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
มีโจทย์มาให้เล่นอีกข้อนึงครับ
โจทย์สั้นๆดังนี้ครับ
ให้ x, y, z เป็นจำนวนเต็ม ที่สอดคล้องกับสมการ $x^2 + y^2 = z^2$ จงพิสูจน์ว่า $xyz$ จะต้องหารด้วย 60 ลงตัวเสมอ
__________________
"So far as the theories of mathematics are about reality, they are not certain; so far as they are certain, they are not about reality" Albert Einstein https://www.facebook.com/SingaporeMathRam 06 ตุลาคม 2010 00:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ drwut |
#2
|
||||
|
||||
มันน่าจะเกี่ยวกับทฤษฎีปีทาโกรัสนะ - -*
เราได้ x=3 y=4 z=5 อ่ะ ถ้า x^2+y^2=z^2 จะได้ 3^2+4^2 = 5^2 คือ 9+16=25 แล้วxyz จะต้องหารด้วย 60 ลงตัวเสมอ จะได้3*4*5=60 หาร 60 ลงตัว(ได้ 1) แล้วถ้าเป็น x=6 y=8 z=10 (ซึ่งมากจาก 3 4 5 นั่นเอง) ก็จะได้ 6*8*10 หาร 60 = 8 หารลงตัว เราไม่แน่ใจนะว่าใช่มั้ย ^ ^ ถ้าผิดต้องขออภัยด้วย 06 ตุลาคม 2010 11:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ W'Jerry |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้$x$แทนจำนวนเต็มที่หารด้วย$3$ลงตัว$=3m$ $y$เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย$4$ลงตัว$=4m$ $z$เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย$5$ลงตัว$=5m$ ดังนั้น$(3m)^2+(4m)^2=(5m)^2$เป็นจริงดังนั้น ถ้า $x, y, z$ เป็นจำนวนเต็ม ที่สอดคล้องกับสมการ $x^2 + y^2 = z^2$แล้ว$xyz$หารด้วย60ลงตัวเป็นจริงครับ
__________________
They always say time changes things. But you actually have to change them yourself. |
#4
|
||||
|
||||
น้อง{([Son'car])} ครับ....น้องเล่นให้
$x=3m$ $y=4m$ $z=5m$....เข้าข่ายเล่นล็อคหวยกินแบ่งรัฐบาล จากโจทย์เราจะต้องนำ$x^2+y^2=z^2$ ไปโยงให้ถึง$xyz$แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่าหารด้วย 60 ลงตัว $9m^2+16m^2=25m^2$....ไม่ว่า$m$ มีค่าเท่าไหร่มันก็จริง แต่ถ้าอย่าง$29^2=20^2+21^2$....ล่ะครับ มันหาค่า $m$ ไม่ได้ แต่ $29\times 20\times 21 = 12180$ หารด้วย $60$ ได้เท่ากับ $203$ ในการพิสูจน์นั้น เราใช้ได้หลายแบบ ตั้งแต่พิสูจน์ตรงๆตามโจทย์ พิสูจน์โดยหาข้อแย้งไม่ได้ ข้อนี้สำหรับผมและความรู้ที่ผมมี ผมว่ากินแรง ผมก็ยังหาทางพิสูจน์ไม่ได้ ได้กลิ่นจากในโจทย์ว่าน่าจะต้องมี $mod$ ที่กำลังนึกๆด้วยวิธีและความรู้ไม่เกินม.ปลาย คือ ให้$Z$ เป็นเลขคู่กับเลขคี่ แล้วแยกกรณีค่าของ$x,y$...ยังไม่ออกครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 06 ตุลาคม 2010 16:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#5
|
||||
|
||||
ให้ $u,v$ เป็นจำนวนเต็มใดๆและ $(u,v)=1$
รูปแบบ 3 จำนวนพีธากอรัสที่เป็นพริมิทิฟ(คือ $(x,y,z)=1$) คือ $x=u^2-v^2$ $y=2uv$ $z=u^2+v^2$ แล้วเราจะได้ว่าใน 3 ตัวนี้ต้องมีอย่างน้อย 1 จำนวนที่หารด้วย 4 ลงตัว ไม่รู้เกี่ยวหรือเปล่านะครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 06 ตุลาคม 2010 17:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~ |
#6
|
||||
|
||||
จากที่ผมโพสต์ไปนะครับ
ถ้าให้ $u$ หรือ $v$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็นพหุคูณของ 3 ผลคูณจะหารด้วย 3 ลงตัว ถ้าให้ $u=3m\pm 1,3n\pm 1$ จะได้ $u^2-v^2=(u+v)(u-v)$ เมื่อแทนค่าทุกกรณีก็จะได้ว่าผลคูณหารด้วย 3 ลงตัว ส่วน 5 ก็ทำคล้ายๆกันแต่แบ่งกรณีเยอะกว่า ก็จะได้ว่าผลคูณของ $xyz$ ที่ $(x,y,z)=1$ หารด้วย 60 ลงตัว ส่วนชุดอื่นๆที่ $(x,y,z)\not= 1$ มันก็คือพหุคูณของสามจำนวนพีธากอรัสที่เป็นพริมิทิฟนั่นเอง
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
They always say time changes things. But you actually have to change them yourself. |
#8
|
||||
|
||||
ไม่เห็นต้องคลุมหัวเลยครับ สิ่งที่น้องพิสูจน์มันก็พอใช้ได้แต่มันไม่ครอบคลุมกรณีืั้ทั้งหมด
มันจริงที่ว่า สามจำนวนแรกที่เข้าข่ายคือ$3^2+4^2 = 5^2$ ถ้าเราเอาจำนวนยกกำลังสองคูณเข้าไป มันก็จะได้ว่า เอา $4$ คูณเข้าไปมันก็ได้คู่ใหม่เป็น $6^2+8^2 = 10^2$ เอา $9$ คูณเข้าไปมันก็ได้คู่ใหม่เป็น $9^2+12^2 = 15^2$ ซึ่งทุกจำนวนมันหารด้วย 60 ลงตัว แต่ที่ยังขาดคืออย่าง$12^2+5^2 = 13^2$....มันอธิบายตามข้างต้นไม่ได้ แต่ดูแล้วก็ยังหารด้วย 60 ลงตัว ผมก็ยังใช้ความรู้ระดับมัธยมปลายมาแก้ไม่ออกครับ เกินระดับม.ปลายผมก็รู้แค่นิดหน่อย หางอึ่งเท่านั้น
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#9
|
||||
|
||||
ฝากเอาไปคิดหน่อยครับ
คำถามจาก mathcenter contest 1. จงพิสูจน์ว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ n
__________________
Fortune Lady
06 ตุลาคม 2010 21:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step เหตุผล: เพิ่มเงื่อนไข |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เนื่องจาก $x^2+y^2=z^2$ เป็นสมการปีทาโกรัส แบ่งเป็น 2 เคสคือ 1) เซตของ $(x,y,z)=(x,\frac{x^2-1}{2},\frac{x^2+1}{2})$ เมื่อ x เป็นจำนวนคี่ ให้ $x=2n-1$ $y=2n^2-2n$ $z=2n^2-2n+1$ ดังนั้น เซตที่สอดคล้องกับสมการคือ $(2n-1,2n^2-2n,2n^2-2n+1)$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับ $xyz=(2n-1)(2n^2-2n)(2n^2-2n+1)$ ให้ $P(n):=(2n-1)(2n^2-2n)(2n^2-2n+1)$ หารด้วย 60 ลงตัว จะได้ว่า $P(1):=0$ หารด้วย 60 ลงตัวเป็นจริง ให้ $P(k):=(2k-1)(2k^2-2k)(2k^2-2k+1)$ หารด้วย 60 ลงตัว จะพิสูจน์ว่า $P(k+1)$ เป็นจริง พิจารณา $(2k-1,2k^2-2k,2k^2-2k+1)$ เมื่อ 2k-1 เป็นจำนวนคี่ จำนวนถัดไปของ 2k-1 ที่เป็นจำนวนคี่คือ 2k-1+2=2k+1 ดังนั้นเซตถัดไปที่สอดคล้องคือ $(2k+1,2k^2+2k,2k^2+2k+1)$ $P(k+1):=(2k+1)(2k^2+2k)(2k^2+2k+1)$ $=[2(k+1)-1][2{(k+1)}^2-2(k+1)][2{(k+1)}^2-2(k+1)+1]$ ดังนั้น P(n) เป็นจริงเมื่อ x เป้นจำนวนคี่ กรณี x เป็นจำนวนคู่จะใช้เซต $(x,\frac{x^2-4}{4},\frac{x^2+4}{4})$ ครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#11
|
||||
|
||||
ผมว่าวิธีการใช้อุปนัยของคุณpoperน่าจะเป็นวิธีเดียวที่พิสูจน์ได้ ผมก็ยังนึกวิธีแบบอื่นไม่ออก
เพราะปัญหาคือการหารูปแบบของความสัมพันธ์ของจำนวนทั้งสาม ผมลองหาในเนต มีหลากหลาย เมื่อวานผมอ่านในหนังสือTechnique of problem solving ในบทของการใช้induction มีการนำinduction มาพิสูจน์ประพจน์ที่ว่า "ถ้าSเป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ k จงพิสูจน์ว่าจำนวนสับเซตของ$S$ เท่ากับ $2^k$" ถ้าเราใช้induction เราต้องเริ่มจาก$P(1)$ แต่ในเรื่องสับเซตมีเซตว่างอยู่ คือค่า$k$ เป็นศูนย์ การพิสูจน์จึงต้องมาเริ่มจาก$P(0)$ด้วย จากนั้นก็ไปพิสูจน์$P(1)$ ดังนั้นถ้าเราจะเริ่มพิสูจน์ที่ $P(2)$ ก่อนได้หรือเปล่า ผมว่าน่าจะได้เพราะที่$P(2)$ จึงจะได้มีค่าที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งสาม
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
นั่นก็คือทำไมถึงเป็นไปไม่ได้ที่ ทั้ง $x,y,z$ จะ $\equiv 1$ หรือ $2\pmod{3}$ 10 ตุลาคม 2010 04:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Onasdi |
#13
|
|||
|
|||
ผมลองไปนั่งคิดดูแล้วพยายามจะหาวิธีที่ถึกน้อยที่สุด ตอนแรกอยากจะ้ใช้เรขาคณิตมาช่วยแต่ยังคิดไม่ออกครับ ก็เอาเป็นว่าใช้วิธีทางทฤษฎีจำนวนที่(น่าจะถึกน้อยที่สุดนะครับ) ดังนี้ครับ
เนื่องจาก $60=3x4x5$ ดังนั้นถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า x,y,z ตัวใดตัวหนึ่ง จะต้องหารด้วย 3 หรือ 4 หรือ 5 เสมอ เราก็จะสามารถบอกได้ว่า xyz จะต้องหารลงตัวด้วย $3x4x5$ แน่นอน กรณี 1 : x,y,z ตัวใดตัวหนึ่ง จะต้องหารด้วย 3 เสมอ ?? สมมติว่า x,y,z ไม่มีตัวไหนเลยที่หารด้วย 3 ลงตัว จะได้ว่า x,y,z สามารถเขียนได้อยู่ในรูป $(3n\pm1)^2 = 3(3n^2\pm 2n)+1 \equiv 1 \quad \pmod{3}$ ดังนั้น $x^2+y^2 \equiv 2 \quad \pmod{3} $ ซึ่งไม่ตรงกับ $z^2$ ซึ่งจะต้อง $z^2 \equiv 1 \quad \pmod{3}$ เสมอ ดังนั้น ขัดแย้ง แสดงว่าจะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งหารด้วย 3 ลงตัวแน่นอน กรณี 2 : x,y,z ตัวใดตัวหนึ่ง จะต้องหารด้วย 5 เสมอ ?? สมมติว่า x,y,z ไม่มีตัวไหนเลยที่หารด้วย 5 ลงตัว จะได้ว่า x,y,z สามารถเขียนได้อยู่ในรูป a1. $(5n\pm1)^2 = 5(5n^2\pm 2n)+1 \equiv 1 \quad \pmod{5}$ a2. $(5n\pm2)^2 = 5(5n^2\pm 4n)+4 \equiv 4 \quad \pmod{5}$ เราพิจารณา $x^2+y^2$ ได้เป็น 3 กรณี 1) $a1+a1 \equiv 2 \pmod{5} $ เป็นไปไม่ได้ 2) $a2+a2 \equiv 3 \pmod{5} $ เป็นไปไม่ได้ 3) $a1+a2 \equiv 0 \pmod{5} $ แสดงว่า $z$ หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้นสรุปได้ว่า ต้องมีตัวใดตัวหนึ่งหาร 5 ลงตัว กรณี 3 : x,y,z ตัวใดตัวหนึ่ง จะต้องหารด้วย 4 เสมอ ?? $x^2+y^2=z^2$ ได้ก็ต่อเมื่อ 2 กรณีดังต่อไปนี้ 1) x,y,z เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด 2) x,y,z เป็นคี่สองตัว เป็นคู่หนึ่งตัว เราพบว่า 1) จะทำให้ xyz หาร 4 ลงตัวแน่นอนดังนั้นจะพิจารณาแค่ 2) ก็พอ ให้ $2n+1$ แทนจำนวนคี่ ดังนั้น $(2n+1)^2=4n(n+1)+1 \equiv 1 \pmod{4} $ ถ้า x,y เป็นจำนวนคี่ และ z เป็นจำนวนคู่ แสดงว่า $x^2+y^2=z^2 \equiv 2 \pmod{4}$ และ $z^2 \equiv 0 \pmod{4}$ พบว่าขัดแย้งกัน ดังนั้นกรณีใช้ไม่ได้ พิจารณากรณี x หรือ y เป็นจำนวนคี่ และ z เป็นคี่ สมมติ x และ z เป็นคี่ และ y เป็นคู่จะได้ว่า $x^2 \equiv z^2 \equiv 1 \pmod{8}$ (เพราะว่า 4n(n+1) หารด้วย 8 ลงตัวเสมอ) และ $y^2=z^2-x^2 \equiv 0 \pmod{8}$ แสดงว่า y ตัวนึงจะต้องมีอย่างน้อย 4 เป็นตัวประกอบแน่นอน ดังนั้น y หารด้วย 4 ลงตัว
__________________
"So far as the theories of mathematics are about reality, they are not certain; so far as they are certain, they are not about reality" Albert Einstein https://www.facebook.com/SingaporeMathRam 10 ตุลาคม 2010 10:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 11 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ drwut |
#14
|
||||
|
||||
ไม่รู้ว่าDr.Wutได้โจทย์ข้อนี้มาจากไหนครับ.....โหดเอาเรื่อง ถ้าถูกมัดมือให้ใช้แค่ความรู้มัธยมปลาย
ผมนั่งคิดได้ไอเดียคล้ายๆกัน โดยเราต้องพิสูจน์ให้ได้ครบทั้ง3กรณีคือ 1.$xyz$ หารด้วย $3$ ลงตัว 2.$xyz$ หารด้วย $4$ ลงตัว 3.$xyz$ หารด้วย $5 $ลงตัว แล้วจะได้ว่า $xyz$ หารด้วย $60 $ลงตัว ตามคุณสมบัติการหารที่ว่าถ้า $d\left|\,a\right. $ และ $c\left|\,a\right. $ และ ค.ร.น.ของ$d,c$ คือ $m$ แล้ว $m\left|\,a\right.$ ร่วมกับการรู้สูตรหา Primitive Pythagoras Triple $a=n^2-m^2$ $b=2mn$ $c=n^2-m^2$ ผมพิสูจน์ได้แค่ว่า$abc$ หารด้วย$4$ ลงตัว เหลือแค่การพิสูจน์ว่า$abc$ หารด้วย$3$และ $5$ ลงตัว กะว่าจะลักไก่เอาคุณสมบัติที่ว่า จำนวนเต็ม$A$ จะมีจำนวนจริง$B,C$เพียงคู่เดียวเท่านั้นที่เราเขียน $A=BX+C$ ก็กะว่าจะเขียนเป็น$A= 5X+c = 3X+c$ แต่มันดูทะแม่งยังไงไม่รู้เดี๋ยวขอเวลาคิดต่ออีกหน่อยครับ คิดมาสามวันแล้วครับ เหมือนจะออกๆ มันก็ยังไม่ออก วิธีของDr.Wutก็เป็นวิธีหนึ่งที่น่าจะใช้ได้
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 11 ตุลาคม 2010 09:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#15
|
|||
|
|||
@คุณกิตติ พอดีผมไปเจอในลิงค์นี้ครับ
http://math1.snru.ac.th/UserFiles/Fi...0Triangles.doc ปกติผมมักจะชอบโจทย์ที่มันสั้นๆ เหมือนจะดูง่ายๆ หรือคิดไม่ถึงว่าจะจริง แต่ความเป็นจริงแล้วยากเหมือนกัน เดี๋ยวไว้เจออะไรหนุกๆจะเอามาฝากอีกครับ
__________________
"So far as the theories of mathematics are about reality, they are not certain; so far as they are certain, they are not about reality" Albert Einstein https://www.facebook.com/SingaporeMathRam |
|
|