โจทย์การนับ

[computer]

1. หาจำนวนเมตริกซ์ขนาด 4x4 ทั้งหมดที่ประกอบด้วยตัวเลข 1 และ -1 โดยที่ผลบวกของเลขในแต่ละแถวเป็น 0 และผลบวกของเลขในแต่ละหลักเป็น 0

2. หาจำนวนชุดคำตอบ $(a,b,c,d)$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข
$\,\,\,$(1) $1\leq a<b<c<d\leq10$
$\,\,\,$(2) $1\leq a\leq b\leq c \leq d \leq 10$

[Thgx0312555]

ข้อ 2 ก่อนแล้วกันครับ

1) $\dbinom{10}{4}$

2) $1 \le a < b+1 < c+2 < d+3 \le 13$

=> $\dbinom{13}{4}$

ข้อ 1 วิธีง่ายที่สุด ลองดู 2 แถวแรกก่อน แยกกรณีว่าเป็นรูปแบบใดได้บ้าง แล้วดูแถวที่เหลือ

ลองทำดูก่อนครับ

[MINGA]

อีกวิธีสำหรับข้อแรกนะครับ

เรานับเมตริกซ์ทั้งหมดนี้ โดยการนับวิธีการใส่เลข 1 ในเมตริกซ์ขนาด 4x4 โดยที่ในแต่ละแถวและแต่ละหลัก มีเลข 1 อยู่สองตัว

คุณสมบัติ: จะมีอีกแถวที่ตำแน่งของเลข 1 ไม่ซ้ำกับตำแหน่งของเลข 1 ในแถวแรกเลย
พิสูจน์: สมมุติว่าทั้งสามแถว(แถวที่ 2,3 และ 4) มีอย่างน้อยหนึ่งตำแหน่งที่ซ้ำกับแถวแรก โดยหลักรังนกพิราบ ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งตำแหน่งของแถวแรก ที่ซ้ำกับอย่างน้องสองแถว ดังนั้นในตำแหน่งนี้ มีเลข 1 อย่างน้อยสามตัว นี่ขัดแย้งกับกฎที่ทุกหลักต้องมีเลข 1 อยู่แค่สองตัว

ให้แถวที่ $n$ เป็นแถวบนสุดที่ตำแหน่งของเลข 1 ไม่ซ้ำกับแถวแรก ($n\in\{2,3,4\}$)

เราสามารถเลือกตำแหน่งของเลข 1 ในแถวแรกได้ $\binom{4}{2} =6$ วิธี

กรณีที่ 1: $n=2$. ตำแหน่งของเลข 1 ในแถวที่สองถูกบังคับโดยแถวที่หนึ่ง เราสามารถเลือกตำแหน่งเลข 1 ในแถวที่สามได้ $\binom{4}{2}=6$ วิธี ส่วนตำแหน่งที่แถวที่สี่ก็ถูกบังคับโดยแถวที่สาม

กรณีที่ 2: $n=3$. ตำแหน่งของเลข 1 ในแถวที่สามถูกบังคับโดยแถวแรก เราสามารถเลือกแต่แหน่งของเลข 1 ในแถวที่สองได้ $\binom{4}{2}-1=5$ วิธี เนื่องจาก แถวที่สองห้ามเหมือนกับแถวที่สาม เพราะไม่เช่นนั้น $n=2.$

กรณ๊ที่ 3: $n=4$. ตำแหน่งของเลข 1 ในแถวที่สี่ถูกบังคับโดยแถวแรก เราสามารถเลือกแต่แหน่งของเลข 1 ในแถวที่สองได้ $\binom{4}{2}-2=4$ วิธี เนื่องจาก แถวที่สองห้ามเหมือนกับแถวที่สี่ เพราะไม่เช่นนั้น $n=2.$ และต้องห้ามเหมือนกับแถวแรก เพราะไม่เช่นนั้น $n=3.$

รวมทั้งสามกรณี จะได้ทั้งหมด 90 วิธีครับ

[Thgx0312555]

ข้อหนึ่งอีกวิธีครับ

เลือกแถวที่ 1 ได้ $\dbinom{4}{2}=6$ วิธี

แถวที่ 2 แบ่งเป็น 3 กรณี

1) เลข 1 ตรงกับ แถวแรก 2 ตัว จะเลือกแถวที่ 2 ได้ $1$ วิธี เลือกแถวที่ 3, 4 ได้ $1$ วิธี

2) เลข 1 ตรงกับแถวแรกตัวเดียว เลือกแถวที่ 2 ได้ $4$ วิธี เลือกแถวที่ 3, 4 ได้ $2$ วิธี

3) เลข 1 ไม่ตรงกับแถวแรกเลย เลือกแถวที่ 2 ได้ $1$ วิธี เลือกแถวที่ 3 ได้ $\binom{4}{2}=6$ วิธี เลือกแถวที่ 4 ได้ $1$ วิธี

จำนวนวิธีเลือกเมทริกซ์เท่ากับ $6(1+8+6)=90$ วิธีครับ

จริงๆ มีวิธีที่แบ่งแค่ 2 กรณีอยู่ โดยทำต่อของคุณ MINGA ครับ ถ้าทำต่อจะพบว่า ทุกแถวจะต้องมีอีกแถวที่มีเลข 1 ไม่ตรงกับแถวแรกเลย

กรณีที่ 1 มีสองแถวที่เลข 1 ตรงกันทุกตำแหน่ง จะได้ว่าอีกสองแถวก็ต้องตรงกันทุกตำแหน่งด้วย เลือกแถวแรกได้ $6$ วิธี เลือกอีกแถวที่เลข 1 ตรงกับแถวแรกจากอีกสามแถวได้ $3$ วิธี แถวที่เหลือต้ิงตรงข้ามกับแถวแรก

กรณีที่ 2 ไม่มีสองแถวใด ที่เลข 1 ตรงกันทุกตำแหน่ง เลือกแถวแรกได้ $6$ วิธี เลือกแถวที่เลข 1 ไม่ตรงกับแถวแรกเลยจากอีกสามแถวได้ $3$ วิธี เหลืออีกสองแถว พิจารณาหนึ่งในนั้น(เลข 1 ต้องไม่ตรงกับอีกสองแถวทุกตำแหน่ง) เลือกได้ $4$ วิธี อีกแถวต้อง ไม่ตรงกับแถวที่เพิ่งเลือกเลย จึงเลือกได้ 1 วิธี

จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ $(6)(3)+(6)(3)(4)=90$ วิธี

แต่คิดว่าวิธีแรกง่ายกว่าครับ