โจทย์ floor function

[ครูนะ]

จำนวนจริง x ซึ่งสอดคล้องสมการ $x^{3} - [x] = 3$ มีค่าเท่าใด เมื่อ [x] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x

ข้อนี้ทำยังไงครับ ผมติดจริงๆ รบกวนผู้รู้ช่วยด้วยครับ

[Amankris]

แยกช่วงครับ เลือกช่วงดีๆหน่อย

[ครูนะ]

ขอแบบเต็มได้ไหมครับ ผมคิดไม่ออกจริงๆ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

จำนวนจริง x ซึ่งสอดคล้องสมการ $x^{3} - [x] = 3$ มีค่าเท่าใด เมื่อ [x] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x

ข้อนี้ทำยังไงครับ ผมติดจริงๆ รบกวนผู้รู้ช่วยด้วยครับ

ถ้าผมจำไม่ผิดรู้สึกจะเป็นอย่างนี้นะครับ
$x-1<[x]\leq x$

[ครูนะ]

ใช่ แต่ลองหลายแบบแล้วมันติดครับ

จะได้ $x^{3} - x ≤ 3 < x^{3} - x + 1$

จากนั้นแก้สมการกำลังสามต่อ

ผมว่ามันไม่ใช่ มันต้องมีแบบง่ายกว่านี้

ยังไงรบกวนผู้รู้ด้วยครับ ผมจะตายแล้ว

[No.Name]

ตอบ$\sqrt[3]{4}$ หรือเปล่าครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

จำนวนจริง x ซึ่งสอดคล้องสมการ $x^{3} - [x] = 3$ มีค่าเท่าใด เมื่อ [x] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x

ข้อนี้ทำยังไงครับ ผมติดจริงๆ รบกวนผู้รู้ช่วยด้วยครับ

$x = [x] + a ; 0 \leqslant a<1$

[Amankris]

#6
ทำอย่างไรครับ

[PP_nine]

ผมเอา solution เฉพาะของผมเลยนะ

ชัดเจนว่าคำตอบไม่ติดลบและไม่ใช่ 0 จึงพิจารณาเพียงจำนวนจริงบวก

lemma : $x^3-x-3 > 2x-4$ ทุก $x\geqslant 2$ (พิสูจน์โดยจัดรูปเป็น $(x-2)(x+1)^2 +3 > 0$)

และเนื่องจาก 2 ไม่ใช่คำตอบ สมมติว่ามีคำตอบที่มากกว่า 2 แสดงว่า

$0=x^3-\left\lfloor\,x\right\rfloor -3 \geqslant x^3-x-3 > 2x-4 > 0$ เกิดข้อขัดแย้ง

นั่นคือคำตอบอยู่ในช่วง (0,2) ซึ่งบ่งว่า $\left\lfloor\,x\right\rfloor =0,1$ เท่านั้น

ถ้า $\left\lfloor\,x\right\rfloor =0$ ได้ $x=\sqrt[3]{3} >1$ เป็นไปไม่ได้

ถ้า $\left\lfloor\,x\right\rfloor =1$ ได้ $x=\sqrt[3]{4}$ เป็นคำตอบเดียว

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ ผมเข้าใจแล้วครับ

ช่วงนี้ไม่รู้เป็นไง โง่ๆ มากๆ คิดอะไรไม่ค่อยออกเลย

[banker]

ผมโง่กว่าอีก

floor function ไม่กระดิกเลย (แปลว่าไม่รู้เรื่อง)

รู้แต่ FLOOR ๆ พื้นๆ

ว่าแต่เดี๋ยวนี้ floor function ลงมาเรียนในระดับมัธยมต้นแล้วหรือครับ ผมตามไม่ทันจริงๆ (มัวแต่ประถมๆติวหลาน)

[Real Matrik]

แถมข้อนึงครับ (เสียดายที่ #9 เฉลยก่อน ว่าจะเอาไปลง MCT Contest )

$$x^3+2[x^2]=7$$

Answer

$x=\sqrt[3]{3}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

แถมข้อนึงครับ (เสียดายที่ #9 เฉลยก่อน ว่าจะเอาไปลง MCT Contest )

$$x^3+2[x^2]=7$$

Answer

$x=\sqrt[3]{3}$

พบว่า ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงลบเเล้ว จะทำให้สมการไม่เป็นจริง
เเละ $x^3+2[x^2]>7$ $~~~~$ $\forall x\ge 2$ ดังนั้น จะได้ว่า $0<x<2$
เเละ $[x^2]=1,2,3,4$ เท่านั้น
จากนั้นนำไปเเทนลงในสมการเดิม จะพบว่าีมีเพียง $x=\sqrt[3]{3}$ เท่านั้นที่สอดคล้อง

[PP_nine]

ผมว่าโจทย์ประเภทนี้เป็นโจทย์ที่เข้าตาคนออกแกทแพทนะ (ว่าแต่มาอยู่ในห้อง ม.ต้นได้ )

ถ้าออกจริงนี่คะแนนเด็กคงตกต่ำอ่ะ