ตั้งไข่ มาราธอน

[Real Matrik]

เทคนิคการแก้ปัญหา

ชุดที่ 1
ชุดที่ 2
ชุดที่ 3
ชุดที่ 4

Problems - For Fun

ชุดที่ 1
ชุดที่ 2
ชุดที่ 3

Solutions - For Fun

ชุดที่ 1

[banker]

ขอบคุณครับ

พร้อมจะเรียนรู้ครับ

[Real Matrik]

สำหรับคุณ banker อาจจะน่าเบื่อหน่อยนะครับ เดี๋ยวผมหาบรรดา for fun มาฝากละกัน

ข้อ 1 ใน for fun problems มีคำตอบมากกว่า 1 ชุดนะครับ

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับที่แบ่งปันความรู้กันครับ....เท่าที่แอบดู ดีมากครับ เหมาะกับน้องๆที่อยากได้เทคนิคเพิ่ม
เข้ามาแชร์กันบ่อยๆแล้วกันครับ

[banker]

มาลองประเดิม Problems - For Fun ชุดที่ 1 ข้อ5

(ช่วยก็อปคำถามมาด้วยนะครับ จะได้สะดวกในการอ่าน)



$xy+xz = 16 $ .........(1)

$yz + xy = 36 $.........(2)

$zx+yz = 40$ .........(3)

(1)+(2)+(3) $ \ \ \ 2(xy+yz+zx) = 92$

$xy+yz+zx = 46 $ .....(4)

จาก (1), (2), (3) จะได้

$yz = 30$ .....(5)
$xy= 6$ ......(6)
$zx = 10 $ .....(7)

(5)x(6)x(7) $ \ \ \ x^2y^2z^2 = 30*6*10$ ....(8)

จาก (5), (6), (7), (8)จะได้
$x^2 = 2 $

$y^2 = 18 $

$z^2 = 50 $

$x^2+y^2+z^2 = 2+18+50 = 70$

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 1 ข้อ 4



ข้อนี้ยังคิดไม่ออก

แต่มองปล๊าบ แบบเซเว่นเซ้นส์ เห็น x =1, y=3 ขึ้นมา

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 1 ข้อ 3



$\dfrac{a+b}{2} = \dfrac{b+c}{3} = \dfrac{c+a}{4} = k$

$a+b = 2k$

$b+c = 3k$

$c+a = 4k$

$2(a+b+c) = 9k$

$(a+b+c) = 4.5k$

$a = 1.5k$

$b = 0.5k$

$c = 2.5k$

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+ck^2)} = \dfrac{(1.5k)^3+(0.5k)^3+(2.5k)^3}{(1.5k+0.5k+2.5k)((1.5k)^2+(0.5k)^2+(2.5k)^2)}$

$ = \dfrac{19.125k^3}{78.75k^3} = \dfrac{17}{70}$



เล่นง่ายๆแบบนี้แหละ แบบอื่นทำไม่เป็น

(ไม่รู้ถูกหรือเปล่า)

แก้คำตอบเป็น
$ = \dfrac{19.125k^3}{39.375k^3} = \dfrac{17}{35}$

[yellow]

ขอบคุณครับ

[banker]

Problems - For Fun ชุดที่ 1 ข้อ 1



นี่ก็ยังคิดไม่ออก แต่มองปล๊าบ เห็นตัวเลขออกมาเป็นแบบนี้


$(1+\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{5}) = 2$

[Real Matrik]

ข้อ 1. อีกชุดนึงคือ 3,3,8 ครับ

ข้อ 4. มีชุดเดียวคือ (1,3)

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Problem-For fun

3.กำหนดให้ $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{c+a}{4}$ จงหาค่าของ

$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$

โจทย์น่าฟันทิ้งมากครับ

$\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{c+a}{4}=M$

$a+b=2M$-------(1)

$b+c=3M$-------(2)

$c+a=4M$-------(3)

(1)+(2)+(3) ได้

$a+b+c=\dfrac{9M}{2}$------(4)

(4)-(1) ได้ $c=\dfrac{5M}{2}$

(4)-(2) ได้ $a=\dfrac{3M}{2}$

(4)-(3) ได้ $b=\dfrac{M}{2}$

หลังจากนั้นก็แทนค่าเลยครับ

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{(\dfrac{M}{2})^3+(\dfrac{3M}{2})^3+(\dfrac{5M}{2})^3}{(\dfrac{M}{2}+\dfrac{3M} {2}+\dfrac{5M}{2})((\dfrac{M}{2})^2+(\dfrac{3M}{2})^2+(\dfrac{5M}{2})^2)}$

$=\dfrac{\dfrac{M^3+27M^3+125M^3}{8}}{\left(\,\dfrac{9M}{2}\right) \left(\,\dfrac{M^2+9M^2+25M^2}{4}\right) }$

$=\left(\,\dfrac{153M^3}{8}\right) \left(\,\dfrac{8}{(9M)(35M^2)}\right) $

$=\dfrac{17}{35}$

ปล.ขอโทษด้วยครับ นึกว่ายังไม่มีคนทำประทานโทษจริงๆ ครับ

[No.Name]

4.(ประกายกุหลาบ)กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงแก้สมการ

$$x(x+2)(x+8)=3^y$$

พิจารณา 3 กรณีโดยที่ $x=3k,3k+1,3k+2$

กรณีที่ 1 $x=3k$

จะเห็นได้ชัดว่า $x+2,x+8$ 3 จะหารไม่ลงตัว

กรณีที่ 2 $x=3k+2$

จะเห็นได้ว่า ทั้ง $x,x+2,x+8$ ไม่มีจำนวนใดเลยที่ 3 หารลง

กรณีที่ 3 $x=3k+1$

แทนลงในสมการ ได้

$\left(\,3k+1\right) \left(\,3k+3\right) \left(\,3k+9\right) =3^y$

$9\left(\,3k+1\right) \left(\,k+1\right) \left(\,k+3\right) =3^y$

ถ้า k มากกว่า 1 จะได้ 3 หาร 3k+1 ไม่ลงตัว เพราะฉะนั้น k<1 ได้ $k=0$

ก็จะได้ค่า x=1,y=3

ทำแบบนี้ถูกหรือเปล่าครับ

[banker]

โจทย์ปัญหา ชุดที่ 1 ข้อ 4



$x- \frac{1}{x} = 1$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 1$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

$x^4 +2 + \frac{1}{x^4} = 9$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 7$



ให้ $x+\frac{1}{x} = m$

$x^2+2+\frac{1}{x^2} m^2$

$ 2+3 = m^2 ----> m = \pm \sqrt{5} =x+\frac{1}{x} $


$(x+\frac{1}{x}) (x^2 +\frac{1}{x^2}) = ( \pm \sqrt{5})(3) $

$x^3+x+\frac{1}{x} +\frac{1}{x^3} = \pm 3 \sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} \pm \sqrt{5} = \pm 3\sqrt{5}$

$ x^3 + \frac{1}{x^3} = \pm 2 \sqrt{5}$


$(x+\frac{1}{x} ) (x^4 + \frac{1}{x^4} ) = \pm \sqrt{5}\times7 $

$x^5+\frac{1}{x^5} +x^3+\frac{1}{x^3} = \pm 7\sqrt{5} $

$x^5+\frac{1}{x^5} + \pm 2 \sqrt{5} = \pm7\sqrt{5} $

$x^5+\frac{1}{x^5} = \pm 5\sqrt{5} $


$x^4 + \frac{1}{x^4} + x^5+\frac{1}{x^5}= 7 + \pm 5\sqrt{5}$


ขอค้างไว้ก่อน เดี๋ยวคืนนี้มาทำต่อครับ

ต่อที่ #19 ครับ

[No.Name]

โจทย์ปัญหาชุดที่ 1

5.จงแก้สมการ $[4(3x+6)]^{1/3}-[3(4x-6)]^{1/3}=\sqrt[3]{6}$

$[4(3x+6)]^{1/3}-[3(4x-6)]^{1/3}-\sqrt[3]{6}=0$

จากสูตร เมื่อ $a+b+c= 0$ จะได้ว่า $a^3+b^3+c^3=3abc$

เบื้องหลัง

$a+b=-c$

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3$

$a^3+b^3+c^3=-3ab(a+b)$

$a^3+b^3+c^3=3abc$ ------(a+b=-c)

$\displaystyle 4(3x+6)-3(4x-6)-6=3\sqrt[3]{\left(\,-6\right) \left(\,-3(4x-6)\right) \left(\,4(3x+6)\right) }$

$36=3\sqrt[3]{(6)(12)(12x^2+6x-36)}$

$36=3\sqrt[3]{(6)(6)(6)(2)(2x^2+x-6)}$

$2=\sqrt[3]{4x^2+2x-12}$

$4=2x^2+x-6$

$(2x+5)(x-2)=0$

$x=2,\dfrac{-5}{2}$

เช็คคำตอบดูมีเพียง 2,-5/2

ปล.ขอบคุณ คุณ Real Matrik มากครับ

[Real Matrik]

#12 ในกรณีที่ 3 ครับ $3k+1$ ก็หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ทำไมถึงพิจารณาต่อ กรณีอื่นๆจะน้อยใจนะครับ
ปล. ใช้คารมเพิ่มนิดหน่อยก็สมบูรณ์แล้วครับ
ปล. ในส่วนของ For fun ข้อ 3 คุณ banker ตัดเลขผิดนิดนึงนะครับ จึงขอให้เครดิตทั้งสองท่าน