floor function

[lek2554]

กำหนดให้ $\left\{a_i\right\}$ เมื่อ $i=1,2,3,...,n$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก

$k$ เป็นค่า่คงตัวและเป็นจำนวนเต็มบวก

ค่าของ $\sum_{i = 1}^{n} \left\lfloor\dfrac{a_i}{k} \right\rfloor $ มีผลลัพธ์เป็นสูตรสำเร็จ และวิธีการพิสูจน์ไหม๊ครับ (ผมไม่เคยศึกษาเรื่องนี้มาก่อนเลยครับ)

ป.ล.เจอในข้อสอบ เข้า ม.4 (มหิดล 52) $\sum_{n = 1}^{39} \left\lfloor\dfrac{2n}{5} \right\rfloor $ ผมต้องแทนค่าทีละตัว (ซึ่งก็ไม่ได้ใช้เวลามากนัก/ในข้อสอบไม่ได้เขียนในรูปซิกมา)

[PP_nine]

ให้ $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง จงหาค่า $$\sum_{i=1}^{n} \left\lfloor\, a_i \right\rfloor $$
คำถามนี้น่าจะกระชับกว่านะครับ เพราะที่ถามตอนแรกมันก็จัดรูปได้ในรูปนี้เหมือนกัน

(แต่คำถามนี้จะครอบคลุมมากกว่า เพราะอาจเป็นลำดับที่มีสมาชิกบางตัวเป็นอตรรกยะก็ได้)

[อัจฉริยะข้ามภพ]

เศษเป็นลำดับเลขคณิตใช้สูตร$a_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ส่วนส่วนเป็นค่าคงตัวดึงออกมาต่างหากแล้วเติมทีหลังได้เลย

[Cachy-Schwarz]

floor function นะครับ

[อัจฉริยะข้ามภพ]

เราหมายถึงข้อสอบเข้าม.4ของมหิดล แต่ถ้าเป็น floor function ก็...