ช่วยหน่อยครับ คิดไม่ออก

[Euler-Fermat]

กำหนดให้ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
Prove that
$\sin^{2m}\theta\cos^{2n}\theta\leqslant \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$
ช่วยหน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

กำหนดให้ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
Prove that
$$\sin^{2m}\theta\cos^{2n}\theta\le \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$$
ช่วยหน่อยครับ

ไม่รู้ว่าจะใช้ได้หรือเปล่านะครับ ก่อนอื่นพิจารณาโดย GM-HM ว่า
$$\sqrt[m+n]{m^m n^n}\ge \frac{m+n}{\underbrace{\frac{1}{m}+\frac{1}{m}+...+\frac{1}{m}}_{m}+\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+..
.+\frac{1}{n}}_{n} }=\frac{m+n}{2}$$
ดังนั้น $\dfrac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}\ge \dfrac{1}{2^{m+n}}$ เเละจาก $x^my^n\le \dfrac{1}{2^{m+n}}$ เมื่อ $x+y=1$
ได้ว่า $$\sin^{2m}\theta\cos^{2n}\theta=(\sin^{2}\theta)^m(\cos^{2}\theta)^n\le \frac{1}{2^{m+n}}\le \dfrac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

กำหนดให้ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
Prove that
$\sin^{2m}\theta\cos^{2n}\theta\leqslant \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$
ช่วยหน่อยครับ

AM-GM ครับ จัดรูปแบบนี้

$\left(\dfrac{\sin^2\theta}{m}\cdots \dfrac{\sin^2\theta}{m}\cdot \dfrac{\cos^2\theta}{n}\cdots \dfrac{\cos^2\theta}{n}\right)^{\frac{1}{m+n}}\leq ...$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

AM-GM ครับ จัดรูปแบบนี้

$\left(\dfrac{\sin^2\theta}{m}\cdots \dfrac{\sin^2\theta}{m}\cdot \dfrac{\cos^2\theta}{n}\cdots \dfrac{\cos^2\theta}{n}\right)^{\frac{1}{m+n}}\leq ...$

แจ่มมากเลยครับ ขอบบคุณครับ