ช่วยทําหน่อยครับ

ถ้า x=a เเละ y=b สอดคล้องสมการ
5x^2-2xy+2y^2-2x-2y+1=0 เเล้ว 10a-2b มีค่าเท่าไร
อีกข้อครับ
ให้ a,b เป็นจํานวนเต็มบวกซึ่ง
ba^2+ab^2+a+b+8ab=83 จะได้a^3+b^3 มีค่าเท่าไร
ช่วยคิดเเบบไม่เเทนค่านะครับ

ข้อ 1 a,b เป็นจำนวนจริง???
ข้อ 2 นี่ไม่ทราบมีวิธีที่แบบไม่แทนค่าแล้วออกเลยหรือไม่
แต่วิธีหนึ่งที่คิดได้โดยอาศัยการจำกัด range ของตัวแปร
A. จะเห็นได้ชัดว่า ถ้า (m,n) เป็นคำตอบของสมการนี้แล้ว
(n,m) จะเป็นคำตอบด้วย
ฺB. จะพิสูจน์ว่า ab+1 >= a+b เมื่อ a,b>=1
เนื่องจาก (a-1)(b-1) >= 0 เสมอเมื่อ a,b>=1
ab -a-b+1>=0 --> ab+1 >=a+b ##
C. จะพิสูจน์ว่า (a+b)^2 >=4ab
เนื่องจาก (a-b)^2 >=0
(a-b)^2+4ab >= 4ab --> (a+b)^2 >= 4ab ##

จาก 83=ba^2+ ab^2+a+b+8ab=(ab+1)(a+b)+8ab
83 = (ab+1)(a+b)+8ab >= (a+b)(a+b)+8ab(จากฺB) = (a+b)^2 + 8ab >= 4ab+8ab(จากC) = 12ab
ดังนั้น 83=ba^2+ ab^2+a+b+8ab>=12ab ....(1)

จาก 83=(ab+1)(a+b)+8ab
(ab+1)(a+b)+8ab <= (ab+1)(ab+1) + 8ab = (ab)^2 + 10ab +1 = (ab+5)^2-24
ดังนั้น (ab+1)(a+b)+8ab=83 <= (ab+5)^2-24 .....(2)
พิจารณา (1) 83>=12ab
84>83>=12ab --> 7 > ab หรือเขียนได้ว่า 6>=ab ...(3)(ab เป็นจำนวนเต็ม)
พิจารณา (2) 83<= (ab+5)^2-24
100<107 <= (ab+5)^2 --> 10 <ab+5
จะได้ ab > 5 หรือเขียนได้ว่า ab>=6 ...(4)
เมื่อนำเงื่อนไข (3),(4) มารวมกันจะได้ว่า a*b ต้องเท่ากับ 6 เท่านั้น จึงจะทำให้สมการนี้มี
สิทธิ์มีคำตอบ (ab=6)
ซึ่งพบว่ามี อยู่ 2 กรณี คือ 1 กับ 6 และ 2 กับ 3
ซึ่งเมื่อแทนค่าทั้งสองกรณีดูจะพบว่ามีเพียงคู่ 2 กับ 3 เท่านั้น
ที่ทำให้สมการเป็นจริง
ดังนั้นคำตอบ (a,b) ของสมการนี้คือ (2,3) และ (3,2) (จาก A)

ข้อ2 จะลองเสนออีกวิธีนะครับ
a^b+ab^2+a+b+8ab=83
ab(a+b)+a+b+8ab=83
(ab+1)(a+b)+8ab+8=91
(ab+1)(a+b+8)=91
(ab+1)(a+b+8)=7*13
กรณีที่1
ab+1=7 และ a+b+8=13
จะได้ว่า (a,b) คือ (2,3),(3,2)
ดังนั้น a^3+b^3=35
กรณีที่2
ab+1=13 และ a+b+8=7
แต่ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น a+b+8>=8
เพราะฉะนั้นไม่มี a,b ที่สอดคล้องในกรณีนี้
ฉะนั้น a^3+b^3=35

[nooonuii]

ถ้า $x=a$ เเละ $y=b$ สอดคล้องสมการ
$5x^2-2xy+2y^2-2x-2y+1=0$ เเล้ว $10a-2b$ มีค่าเท่าไร

ขุดโจทย์เก่ามาคิดครับ

พิจารณาสมการกำลังสองในรูปตัวแปรของ $x$ เราจะได้ค่า discriminant เท่ากับ $4(y+1)^2-20(2y^2-2y+1)=-4(3y-2)^2$

เราจึงได้ว่า $x=\dfrac{2(y+1)\pm 2(3y-2)i}{10} = \dfrac{(y+1)\pm (3y-2)i}{5}$

จัดรูปใหม่จะได้สมการ $(5x-y-1)^2 + (3y-2)^2 = 0$
แต่เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนจริงเราจึงได้ว่า
$5x-y-1=0,3y-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{3},y=\dfrac{2}{3}$

วิธีการนี้คือที่มาของการมองสมการกำลังสองของสองตัวแปรแต่มีสมการเดียวให้อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสองของสมการเชิงเส้นสองสมการ ซึ่งผมว่ามีประโยชน์มากทีเดียวครับ