ถามปัญหา topology เบื้องต้นหน่อยครับ

[phoneee]

เพิ่งออกห้องสอบมาบ่ายสามวันนี้ เหลือข้อเดียวที่ทำไม่ได้

$\left(X,\tau\right)$ เป็น topological space และ $\left(Y,\tau'\right)$ เป็น Hausdorff Space
ให้ $f,g:X\rightarrow Y$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ $A=\left\{x\in X|f(x)=g(x)\right\}$
จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตปิดใน $X$

เข้าใจว่าต้องพิสูจน์ว่า $X-A$ เป็นเนเบอร์ฮูดของ $x$ ทุก $x$ ใน $X-A$
แต่ไปต่อไม่ได้แล้วครับ ใครอธิบายได้บ้าง
คิดไม่ออก นอนไม่หลับครับ

[nooonuii]

ขอใช้ภาษาอังกฤษนะครับ

Let $x\in X\setminus A$. Then $f(x)\neq g(x)$.

Since $Y$ is Hausdorff, there are open sets $U,V$ such that

i) $f(x)\in U$ , $g(x)\in V$ and

ii) $U\cap V=\emptyset$.

Let $W=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)$.

It is easy to see that $x\in W$.

Since $f,g$ are continuous $f^{-1}(U),g^{-1}(V)$ are open in $X$.

This implies that $W$ is also open in $X$.

For any $y\in W$, we have $f(y)\in U$ and $g(y)\in V$.

Since $U\cap V=\emptyset$, $f(y)\neq g(y)$. Thus $y\in X\setminus A$.

This shows that $W\subseteq X\setminus A$.

Hence $X-A$ is open in $X$.

Therefore, $A$ is closed in $X$.

[phoneee]

โอโห้
อย่างงี้นี่เอง
ในข้อสอบเต็มสิบคะแนนผมคงได้ซักสามคะแนน
เพราะผมเขียนแต่วิธีคิด

ขอบคุณมากครับ