ข้อสอบ สมาคมคณิตฯ 2551

[warutT]

ข้อ 1 ตอน 2 ครับ

พิจารณาจากรูปครับ โดยทฤษฎีบทปีธาโกรัสจะได้
$OE=OG=\frac{\sqrt{10}}{2} , OF=2$
นั่นคือเราจะสามารถหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $ABCD=DOC+DOA+AOB+BOC=9$
จะได้พื้นที่แรเงาเท่ากับ $5\pi - 9$ ตารางหน่วย

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Athrun Zala

ใช่ๆ ข้อนี้โคตรแค้นเลยอ่ะ -*- ได้พื้นที่สี่เหลี่ยมมาแล้วแท้ๆ ดันหาพื้นที่วงกลมไม่ได้

ต้องรู้สมการวงกลมอะ ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2 = r^2$
โดย $(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลาง และ $r$ เป็นรัศมีครับ

[กรza_ba_yo]

ข้อ 18 อะคับ
ที่ตอบ 10/99 อะ
เขาไม่นับ 99 เหรอคับ

[Julian]

ไม่นับครับ เพราะ

99 ผลบวกเลขโดดเป็น 18 ครับ ไม่ใช่ 9

ถ้าต้องการให้นับโจทย์จะเป็นผลบวกเลขโดดที่ 9 สามารถหารได้ลงตัวครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ข้อ 1 ตอน 2 ครับ

พิจารณาจากรูปครับ โดยทฤษฎีบทปีธาโกรัสจะได้
$OE=OG=\frac{\sqrt{10}}{2} , OF=2$
นั่นคือเราจะสามารถหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $ABCD=DOC+DOA+AOB+BOC=9$
จะได้พื้นที่แรเงาเท่ากับ $5\pi - 9$ ตารางหน่วย

น่าเสียดายมากคิดผิดไปนิดเดียว

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ famousfive

ตอนที่ 1
มั่วข้อ 9 10 20 ไป ไม่ถูกซักข้อเลย

ส่วนข้อ 12 คิดยังไงอะคะ

คิดได้

เป็นแถวที่ 10 มี
90+....+108 อะค่ะ
แต่ไม่แน่ใจเหมือนกัน

สังเกตจากตัวแรกของแถวครับ
แถวที่ $1$ มีตัวแรกคือ $2+2(0)=2$
แถวที่ $2$ มีตัวแรกคือ $2+2(0+1)=4$
แถวที่ $3$ มีตัวแรกคือ $2+2(0+1+2)=8$
ไปเรื่อยๆ
แถวที่ $n$ มีตัวแรกคือ $2+2(0+1+2+...+(n-1))$
$\therefore$ แถวที่ $10$ มีตัวแรกคือ $2+2(0+1+...+9)=2+90=92$
สังเกตต่อไปว่า
แถวที่ $1$ มี$1$ จำนวน
แถวที่ $2$ มี$2$ จำนวน
ไปเรื่อยๆ
แถวที่ $n$ มี$n$ จำนวน
$\therefore$ แถวที่ $10$ มี $10$ จำนวน
จะได้ว่าจำนวนในแถวที่ $10$ คือ $92,94,...,110$
ผลบวก $= 92+94+...+110=2(46+47+...+55)=2((1+2+...+55)-(1+2+...+45))=2(1540-1035)=2(505)=1010$

[warutT]

ข้อ 14 ตอน 1 ครับ

จากรูป $\delta AOP$ เท่ากันทุกประการกันกับ $\delta AOQ$
$\therefore POA=AOQ=30$
นั่นคือ $\frac{5}{r}=\tan 30=\frac{1}{\sqrt{3}}
$r=5\sqrt{3}
พื้นที่แรเงา $= \frac{2}{3}\pi {5\sqrt{3}}^2$
$ = 50\pi {cm}^2$

[doraemon_j]

ขอวิธีคิดข้อ 16 ตอน 2 หน่อยได้มั้ยครับ

[warutT]

ข้อ 4
จากรูป $\Delta AIE \sim \Delta ABF$
$\frac{AI}{7}=\frac{3}{\sqrt{7^2+3^2}}$
$AI=\frac{21}{\sqrt{58}}$
$\therefore EI=\sqrt{3^2-\frac{441}{58}}=\frac{9}{\sqrt{58}}$
นั่นคือ $\delta AIE=\frac{1}{2}(\frac{9}{\sqrt{58}})(\frac{21}{\sqrt{58}})$
$\therefore พท.แรเงา=7^2-(4)(\frac{1}{2})(\frac{9}{\sqrt{58}})(\frac{21}{\sqrt{58}})=49-6\frac{15}{29}=42\frac{14}{29}$

[[SIL]]

ต้องการอยู่พอดี ขอบคุณคุณ warutT มากๆครับ

[กรza_ba_yo]

ขอข้อที่ปิรามิดตั้งอยู่บนวงกลมอะคับ
ถ้าจำไม่ผิดน่าจะเป็น7

[Kira Yamato]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

ข้อ 4
จากรูป $\Delta AIE \sim \Delta ABF$
$\frac{AI}{7}=\frac{3}{\sqrt{7^2+3^2}}$
$AI=\frac{21}{\sqrt{58}}$
$\therefore EI=\sqrt{3^2-\frac{441}{58}}=\frac{9}{\sqrt{58}}$
นั่นคือ $\delta AIE=\frac{1}{2}(\frac{9}{\sqrt{58}})(\frac{21}{\sqrt{58}})$
$\therefore พท.แรเงา=7^2-(4)(\frac{1}{2})(\frac{9}{\sqrt{58}})(\frac{21}{\sqrt{58}})=49-6\frac{15}{29}=42\frac{14}{29}$

ตัวเลขน่าเกลียดจังเลยอ่า
ดีแล้วที่ไม่คิดอ่ะครับ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กรza_ba_yo

ขอข้อที่ปิรามิดตั้งอยู่บนวงกลมอะคับ
ถ้าจำไม่ผิดน่าจะเป็น7

จัดให้ครับ

Solution ดูภาพแรกประกอบครับ
พื้นที่วงกลม $=\pi r^2=32 \pi$
$\therefore r=\sqrt{32}$
จะได้ความยาวฐานพีระมิด$=\sqrt{32+32}=8 หน่วย$
ดูภาพสองประกอบ
จะได้ความสูงของสามเหลี่ยมที่เป็นพื้นที่ผิวข้าง$=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10} หน่วย$
$\therefore พื้นที่ผิวข้าง =4 \times \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{10}=64\sqrt{10} ตารางหน่วย $

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

จัดให้ครับ

Solution ดูภาพแรกประกอบครับ
พื้นที่วงกลม $=\pi r^2=32 \pi$
$\therefore r=\sqrt{32}$
จะได้ความยาวฐานพีระมิด$=\sqrt{32+32}=8 หน่วย$
ดูภาพสองประกอบ
จะได้ความสูงของสามเหลี่ยมที่เป็นพื้นที่ผิวข้าง$=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10} หน่วย$
$\therefore พื้นที่ผิวข้าง =4 \times \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{10}=64\sqrt{10} ตารางหน่วย $

ขอบคุณคับ

[Dr.K]

ขอแนวคิด ตอนที่2 ข้อ 11 หามุม BMC
ข้อ 13 หาเศษ ที่เหลือจากการหาร พหุนาม