อสมการ จาก โจทย์เอนท์เวียดนาม ครับ

[gools]

ให้ \(x,y,z > 0\) และ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) จงพิสูจน์ว่า
\[\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq \frac{3}{4} \leq (x+y+z)(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z})\]

[nongtum]

พิมพ์โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ ไปเช็คจากข้อสอบต้นฉบับมา มันน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่า
ให้ \(x,y,z > 0\) และ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) จงพิสูจน์ว่า
\[\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq 1\]
ป.ล. แก้ไขความผิดพลาดทางเทคนิค ตามคำแนะนำของคุณ gon คราวนี้ตรงจริงๆซะที

[gools]

ขอโทษนะครับ แก้ให้ใหม่แล้ว(แถมให้อีก 1) ช่วงนี้เบลอ ๆ ยังไงก็ไม่รู้

[gon]

หมายถึงโจทย์ข้อไหนกันแน่ครับ. ของคุณ Nongtum ก็ยังไม่ตรงกับต้นฉบับเลย สับสน ๆ

[nongtum]

ขอโทษครับ ผมแก้โจทย์ผิดเอง ตามไปแก้แล้ว(คำถามในส่วนที่ผมแก้ด้านบนเป็นของปีล่าสุด)
ส่วนของคุณ gools น่าจะมาจากปีอื่นครับ เพราะโจทย์คนละเรื่องกัน แต่ยากพอๆกัน (นั่นคือ เราได้โจทย์ที่แตกต่างกันมาสองข้อโดยไม่เจตนา)

[gools]

มาจากของเอนท์เวียดนามปีนี้แหละครับ แต่ผมเปลี่ยนตัวเลขฝั่งขวา ความจริง topic นี้มีชื่อว่า "อสมการ(ดัดแปลงมา)จากโจทย์เอนท์เวียดนามครับ"

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
\[\large \frac{1}{2x+y+z}+ \frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}\leq (x+y+z)(\frac{1}{2x+y+z}+ \frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z}) \]

รู้สึกว่า อสมการครึ่งหลัง เป็นจริงทุก x,y,z > 0 ด้วยนะครับเนี่ย

เพราะ 2(x+y+z) > 2x+y+z ดังนั้น \[\large \frac{1}{2x+y+z} >\frac{1}{2(x+y+z)}\]

อีก 2 เทอม ก็ทำเหมือนกัน ดังนั้น จะทำให้
\[ \large \frac{1}{2x+y+z}+ \frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z}> \frac{3}{2(x+y+z)} \]

นำ x+y+z คูณ 2 ข้างของอสมการ ดังนั้น
\[ \large (x+y+z)(\frac{1}{2x+y+z}+ \frac{1}{x+2y+z}+ \frac{1}{x+y+2z})> \frac{3}{2}> \frac{3}{4} \]

[Char Aznable]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ให้ \(x,y,z > 0\) และ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) จงพิสูจน์ว่า
\[\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq 1\]

จาก am-hm จะได้ \[\frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{16} \]
ทำในทำนองเดียวกันแล้วนำมาบวกกันจะได้
\[\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq \frac{4}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) = 1 \]

[jong_l_kyongwon]

มะรุ้เรื่องเลยอ่ะ โง่จังเรา - -

[gools]

ในที่สุดก็เจอจุดผิดของอสมการของผมจนได้เนื่องจากการใช้ Cauchy แบบผิดๆ ทำให้ได้ว่า \(\frac{1}{2x+y+z} \leq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{(2+1+1)^2}\)
นั่นก็คือฝั่งขวาเป็นเลข 1 ถูกแล้วครับ

[RoSe-JoKer]

ขุดกระทู้ครับ จริงๆด้านซ้ายมันต้อง $\geqslant \frac{9}{4}$ ด้วยซ้ำไปซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆโดยอสมการโคชี

[Near]

เวียดนามมันล้ำหน้าก่วาเราไปกี่ปีนี่