โจทย์แคลคูลัส ประยุกต์

[-InnoXenT-]

บริษัทแห่งหนึ่ง ต้องการผลิต กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่ไม่มีฝาปิด โดยกำหนดให้มี ปริมาตร 27 ลูกบาศก์นิ้ว และค่าทำฐาน มีราคา 2 หน่วย ต่อ 1 ตารางนิ้ว ค่าทำพื้นที่ข้างกล่อง มีราคา 1 หน่วย ต่อ 1 ตารางนิ้ว

จงหา ว่าต้องทำกล่องขนาดเท่าไร ถึงจะมีราคาถูกที่สุด

[แมวสามสี]

กำหนดให้กล่อง กว้าง $x$ นิ้วยาว $y$ นิ้วและสูง $z$ นิ้ว

ราคาค่าทำกล่องคือ $ S(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz $

กำหนด $L(x,y,z,w) = S(x,y,z) + wG(x,y,z) $

โดย $G(x,y,z) = xyz - 27 = 0$

$L_x = 2y +2z + wyz = 0 .......................(1)$

$L_y = 2x +2z + wxz = 0 .......................(2)$

$L_z = 2x +2y + wxy = 0 .......................(3)$

$L_w = xyz - 27 = 0 .............................(4)$

$(1)\times x ; 2xy +2xz + wxyz = 0 .......................(5)$

$(2)\times y ; 2xy +2yz + wxyz = 0 .......................(6)$

$(5)-(6) ; 2xz - 2yz = 0 $

ได้ว่า $2z(x - y) = 0 $ แต่ $ z \not= 0 $ ดังนั้น $ x = y $

แทนค่า $ x = y $ ลงใน $(3) ; 2x +2x + wx^2 = 0$

$4x + wx^2 = 0$

$x(4 + wx) = 0$ แต่ $ x \not= 0 $ ดังนั้น $ x = \frac{-4}{w} $

แทนค่า $ x = y = \frac{-4}{w}$ ลงใน $(1)$ ;

$2(\frac{-4}{w}) + 2z + w\frac{-4}{w}z = 0 $

ได้ $ z = \frac{-4}{w} $ นั่นคือ $ x = y = z = \frac{-4}{w}$ แทนค่าใน $(4)$

ได้ $ x = y = z = 3$

ดังนั้นต้องทำกล่องไม่มีฝาปิดทรงลูกบาศก์ยาวด้านละ 3 นิ้ว ครับ

คงไม่มีตัวเลขผิดนะ ตาลายเหมือนกัน ว่าแต่นี่มันโจทย์ ม.ปลายเหรอ อิ อิ

[nooonuii]

ใช้อสมการ AM-GM ครับ

$xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}=27$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x=y=z=3$

[-InnoXenT-]

โจทย์ มหาลัยครับ - -a

ความจริง โจทย์จริงคือ ให้ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ผมเปลี่ยนโจทย์เองแหละ

อยากลองทำแบบ สามตัวแปรดู

[PHOENIX SUN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แมวสามสี

กำหนดให้กล่อง กว้าง $x$ นิ้วยาว $y$ นิ้วและสูง $z$ นิ้ว

ราคาค่าทำกล่องคือ $ S(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz $

กำหนด $L(x,y,z,w) = S(x,y,z) + wG(x,y,z) $

โดย $G(x,y,z) = xyz - 27 = 0$

$L_x = 2y +2z + wyz = 0 .......................(1)$

$L_y = 2x +2z + wxz = 0 .......................(2)$

$L_z = 2x +2y + wxy = 0 .......................(3)$

$L_w = xyz - 27 = 0 .............................(4)$

$(1)\times x ; 2xy +2xz + wxyz = 0 .......................(5)$

$(2)\times y ; 2xy +2yz + wxyz = 0 .......................(6)$

$(5)-(6) ; 2xz - 2yz = 0 $

ได้ว่า $2z(x - y) = 0 $ แต่ $ z \not= 0 $ ดังนั้น $ x = y $

แทนค่า $ x = y $ ลงใน $(3) ; 2x +2x + wx^2 = 0$

$4x + wx^2 = 0$

$x(4 + wx) = 0$ แต่ $ x \not= 0 $ ดังนั้น $ x = \frac{-4}{w} $

แทนค่า $ x = y = \frac{-4}{w}$ ลงใน $(1)$ ;

$2(\frac{-4}{w}) + 2z + w\frac{-4}{w}z = 0 $

ได้ $ z = \frac{-4}{w} $ นั่นคือ $ x = y = z = \frac{-4}{w}$ แทนค่าใน $(4)$

ได้ $ x = y = z = 3$

ดังนั้นต้องทำกล่องไม่มีฝาปิดทรงลูกบาศก์ยาวด้านละ 3 นิ้ว ครับ

คงไม่มีตัวเลขผิดนะ ตาลายเหมือนกัน ว่าแต่นี่มันโจทย์ ม.ปลายเหรอ อิ อิ

อยากรู้อ่า ว่าตัว L W G แทนตัวอะไรอ่ะค๊ะ?