โจทย์น่าสนใจ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

1.ให้ w,z เป็นจำนวนเชิงซ้อนทีสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

$1.\frac{1}{z} +\frac{1}{w} =i$

$2.\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| $

$3.\left|\,z-w\right| =1$

จงหา $\left|\,z\right| $

2.ในการโยนเหรียญ 48 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะออกหัวมากกว่าก้อย

[~ArT_Ty~]

โอกาสออกหัวมากกว่าก้อย = โอกาสออกก้อยมากกว่าหัว

คิดแบบนี้หรือเปล่า ไม่แน่ใจ :/

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

จะมีโอกาสที่ออกหัวและก้อยเท่ากันด้วยครับ

[กิตติ]

ข้อสอง ผมมองว่าโยนเหรียญ 48 ครั้ง มีหัวมากกว่าก้อย ก็มองแค่ว่า ออกหัว 25 ครั้งเป็นต้นไป เพราะยังไงโยนเหรียญมันก็ออกหัวหรือก้อยเท่านั้น
หาคอมพลีเมนท์คือหาความน่าจะเป็นที่ออกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 24 ครั้งลงมา
ไม่รู้ว่าคิดแบบนี้ได้ไหม
ออกหัว1ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,1 \times \frac{1}{2^{48}} $
ออกหัว2ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,2 \times \frac{1}{2^{48}} $
ออกหัว3ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,3 \times \frac{1}{2^{48}} $
ไปจนถึง
ออกหัว24ครั้ง มีโอกาสเกิดได้ $C48,24 \times \frac{1}{2^{48}} $
ความน่าจะเป็นที่ออกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับ 24 ครั้งเท่ากับ $\frac{1}{2^{48}}\times \left(\,C48,1+C48,2+...+C48,24\right) $

เดี๋ยวขอเวลานั่งคิดตัวเลขอีกที ไม่รู้ว่าแนวคิดนี้มันจะถูกไหมครับ
ผมใช้ $Pn,r$ ตอนแรกนั้นไม่ถูกต้อง ต้องใช้ $Cn,r$ เพราะเหมือนการเอาเหรียญ 48 เหรียญมาวางเรียงกันแล้วเลือกหยิบออกเพื่อวางเหรียญที่ออกหัว
จาก $C48,0+C48,1+C48,2+...+C48,24 =2^{48}-\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right) $
$=2^{48}-\left(\,C48,23+C48,22+...+C48,0\right)$

$\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right)$.... คือออกหัวมากกว่าก้อย
$=2^{48}-\left(\,C48,0+C48,1+C48,2+...+C48,24 \right) $
จาก $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r} $
$C48,0+C48,1+C48,2+...+C48,24=C48,48+C48,47+C48,46+...+C48,24$
ดังนั้น $\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right)=2^{48}-\left(\,C48,48+C48,47+C48,46+...+C48,24\right)$
$2\left(\,C48,25+C48,26+...+C48,48\right)=2^{48}-C48,24$
$C48,25+C48,26+...+C48,48=2^{47}-\frac{1}{2} \left(\,C48,24\right) $

ความน่าจะเป็นที่ออกหัวมากกว่าก้อยเท่ากับ $\frac{1}{2^{48}}\times \left(\,2^{47}-\frac{1}{2} \left(\,C48,24\right)\right) $
$\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{49}}\times\left(\,C48,24\right)$
ไม่รู้ว่าตอบเท่านี้ได้ไหม

[nooonuii]

ได้เท่ากับคุณหมอกิตติครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 1 ย่อๆนะครับ
จาก 1) และ 2) จะได้ $|z|=|w|$
ให้ $Z,W$ เป็นจุดของ $z,w$ ในระนาบเชิงซ้อน $O$ แทนจุด $(0,0)$
ให้ $\theta$ แทนมุมระหว่างเวกเตอร์ $\overrightarrow{OZ}$ และ $\overrightarrow{OW}$

จะได้ $|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2|z||w|cos\theta$
และ $|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2|z||w|cos\theta$

แทนค่าทีละสมการ
$|z|^4=|z|^2+|z|^2+2|z|^2cos\theta$
$1^2=|z|^2+|z|^2-2|z|^2cos\theta$

นำมาบวกกัน จัดรูป
$|z|^4-4|z|^2+1=0$
$|z|=\dfrac{\pm\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$

ดังนั้นค่า $|z|$ ที่เป็นไปได้คือ
$|z|=\dfrac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ข้อ 1 ย่อๆนะครับ
จาก 1) และ 2) จะได้ $|z|=|w|$
ให้ $Z,W$ เป็นจุดของ $z,w$ ในระนาบเชิงซ้อน $O$ แทนจุด $(0,0)$
ให้ $\theta$ แทนมุมระหว่างเวกเตอร์ $\overrightarrow{OZ}$ และ $\overrightarrow{OW}$

จะได้ $|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2|z||w|cos\theta$
และ $|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2|z||w|cos\theta$

แทนค่าทีละสมการ
$|z|^2=|z|^2+|z|^2+2|z|^2cos\theta$
$1^2=|z|^2+|z|^2-2|z|^2cos\theta$

นำมาบวกกัน จัดรูป
$|z|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$|z+w|^2$$\not=$ $|z|^2$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

2.

จำนวนวิธีการโยนทั้งหมด = $2^{48}$

จำนวนวิธีที่ออกหัวมากกว่าก้อย=จำนวนวิธีทั้งหมด-จำนวนวิธีที่ออกหัวน้อยกว่าหรือเท่ากับก้อย

แต่จำนวนวิธีออกหัวมากกว่าก้อย และ ออกก้อยมากกว่าหัว เท่ากัน

ดังนั้น $จำนวนวิธีที่ออกหัวมากกว่าก้อย=\frac{จำนวนวิธีทั้งหมด-จำนวนวิธีออกหัวเท่ากับก้อย}{2} $

$=\frac{2^{48}-\binom{48}{24} (1)(1)}{2} $

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ออกหัวมากกว่าก้อยเท่ากับ $\frac{2^{48}-\binom{48}{24} }{2^{49}} $

credit:คุณ Thgx0312555

[กิตติ]

ข้อแรก ผมคิดได้เท่ากับที่คุณ Thgx0312555คิดไว้

$1.\frac{1}{z} +\frac{1}{w} =i$

$2.\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| $

$3.\left|\,z-w\right| =1$

$\left|\,\frac{1}{z} +\frac{1}{w}\right|=1 $
$\left|\,\frac{w+z}{wz}\right| =1 $
$\frac{\left|\,w+z\right| }{\left|\,wz\right| } =1 $
$\left|\,w+z\right|=\left|\,w\right| \left|\,z\right| = \left|\,w\right| ^2$
$\left|\,w\right|\left(\,\left|\,w\right|-\left|\,z\right| \right) =0 $
เนื่องจาก $\left|\,w\right|\not= 0$ จะได้ว่า $\left|\,w\right|=\left|\,z\right|$
เดี๋ยวมาทำต่อ ทำงานก่อนแป๊ปหนึ่งครับ

จาก $\left|\,z\right|^2=z\cdot \overline{z} $
จะได้ว่า $z\cdot \overline{z}=w\cdot \overline{w}$
$\left|\,z-w\right|^2 =1=(z-w)(\overline{z-w} )=(z-w)(\overline{z}- \overline{w} )$
$z\cdot \overline{z} +w\cdot \overline{w}-z\cdot \overline{w}-w\cdot \overline{z}=1$
$2\left|\,z\right|^2-z\cdot \overline{w}-w\cdot \overline{z}=1$...........(1)

$\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| =\left|\,z\right| ^2$
$\left|\,z+w\right|^2 =(z+w)(\overline{z+w} )=(z+w)(\overline{z} +\overline{w} )$
$\left|\,z\right| ^4=2\left|\,z\right|^2+z\cdot \overline{w}+w\cdot \overline{z}$...(2)

(1)+(2) $\left|\,z\right| ^4-4\left|\,z\right|^2+1=0$
$\left|\,z\right|^2=\frac{4\pm \sqrt{12} }{2} =2 \pm \sqrt{3} $
$\left|\,z\right|=\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} $

$\sqrt{2+ \sqrt{3}} =\sqrt{\frac{3}{2} }+\sqrt{\frac{1}{2}} $
$\sqrt{2- \sqrt{3}} =\sqrt{\frac{3}{2} }-\sqrt{\frac{1}{2}}$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จาก $\left|\,z\right|=z\cdot \overline{z} $
จะได้ว่า $z\cdot \overline{z}=w\cdot \overline{w}$
$\left|\,z-w\right| =1=(z-w)(\overline{z-w} )=(z-w)(\overline{z}- \overline{w} )$
$z\cdot \overline{z} +w\cdot \overline{w}-z\cdot \overline{w}-w\cdot \overline{z}=1$
$2\left|\,z\right|-z\cdot \overline{w}-w\cdot \overline{z}=1$...........(1)

$\left|\,w\right| ^2=\left|\,z+w\right| =\left|\,z\right| ^2$
$\left|\,z\right| ^2=\left|\,z+w\right| =(z+w)(\overline{z+w} )=(z+w)(\overline{z} +\overline{w} )$
$\left|\,z\right| ^2=2\left|\,z\right|+z\cdot \overline{w}+w\cdot \overline{z}$...(2)

(1)+(2) $\left|\,z\right| ^2-4\left|\,z\right|+1=0$
$\left|\,z\right|=\frac{4\pm \sqrt{12} }{2} =2 \pm \sqrt{3} $

$\left|\,z\right|^2=z\cdot \overline{z} $

[กิตติ]

แก้แล้วครับพี่เล็ก ช่วงนี้เขียนlatexยาวๆแล้วตาลาย คงเริ่มเข้าหลักสี่แล้วสายตาไม่ค่อยดี
วิธีของคุณThgx0312555 น่าสนใจครับ ผมไม่ค่อยถูกโรคกับเวคเตอร์ น่าสนใจที่ใช้พิกัดเชิงมุมของจำนวนเชิงซ้อนมาประยุกต์กับเวคเตอร์

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ครับ ถูกต้องแล้วครับ