เวกเตอร์และตรีโกณมิติ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1)$O$ เป็นจุดกำเนิด และ $P$ เป็นจุดภายใน $\triangle ABC$ บนระนาบ $xy$
โดยอัตราส่วนพื้นที่ $\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA = 2:3:5$
ถ้าเวกเตอร์ $ \overline{OP}=a\overline{OA}+b\overline{OB}+\overline{OC} $
จงหา $a+b-c$

2) (ข้อนี้ห้ามแทนค่ามุมนะครับ ขอให้แสดงวิธีคิด)
ให้ $\triangle ABC$ และ $\tan B/2$ $\tan C/2 = 1/3$
จงหา $cos A +\dfrac{cos (B-C)}{4}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

2) (ข้อนี้ห้ามแทนค่ามุมนะครับ ขอให้แสดงวิธีคิด)
ให้ $\triangle ABC$ และ $\tan B/2$ $\tan C/2 = 1/3$
จงหา $cos A +\dfrac{cos (B-C)}{4}$

$3\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})=\cos(\frac{B}{2})\cos(\frac{C}{2}) $
$2\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})=\cos(\frac{B}{2}+\frac{C}{2})=\sin(\frac{A}{2}) $...........(1)
$2\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})=\cos(\frac{B-C}{2})-\cos(\frac{B+C}{2})=\cos(\frac{B-C}{2})-\sin(\frac{A}{2})$...........(2)
แทน (1)ใน(2) จะได้
$2\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2})=\cos(\frac{B}{2}+\frac{C}{2})=\sin(\frac{A}{2})=\cos(\frac{B-C}{2})-\sin(\frac{A}{2})$
ดังนั้น
$\cos(\frac{B-C}{2})=2\sin(\frac{A}{2})$
$\cos(B-C)=2\cos^2(\frac{B-C}{2})-1=2(2\sin(\frac{A}{2}))^2-1$
$\cos(B-C)=8\sin^2(\frac{A}{2})-1$
$\frac{\cos(B-C)}{4}= 2\sin^2(\frac{A}{2})-\frac{1}{4} $
$\frac{\cos(B-C)}{4}=(1-\cos A)-\frac{1}{4}$
$\frac{\cos(B-C)}{4}+\cos A=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} $

[ฮุฮุฮ่าๆ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

O(0,0)
A(0.5,0) , B(0 , (3^0.5)/2) , C(-0.5,0)
P(0.05 , (3^0.5)/4)

ผมอยากทราบว่า จุดเหล่านี้มีวิธีคิดหาค่าอย่างไรอะครับ