Nice problem ม.ต้น

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$2)$หาผลคูณของเลขสองหลักสุดท้ายของค่า $1!+2!+3!+...+2013!$

1!=1

2!=2

3!=6

4!=24

5!=120

6!=720

7!=5040

8!=40320

9!=362880

10!=3628800

สังเกตว่า $5!,6!,...$ มีเลขหลักสุดท้ายเป็น $0$

จะได้ว่า เลขหลักสุดท้าย$(1!+2!+3!+...+2013!)=$เลขหลักสุดท้าย$(1!+2!+3!+4!)=3$

สังเกตว่า $10!,11!,...$ มีเลขหลักสิบเป็น $0$

เลขหลักสิบ$(1!+2!+3!+...+2013!)=$เลขหลักสิบ$(1!+2!+3!+...+9!)=2+2+2+4+2+8+1=1$

(หลักหน่วยผลบวกมากกว่า 10 จึงเพิ่มหลัก 10 เข้า 1)

ดังนั้น ผลคูณ เป็น $3$

[computer]

ข้อ Bonus:
ให้ $a_n=1234...n$
Ex. $a_3=123$, $a_{10}=12345678910$
และ $b_n=\overline{a_1a_2a_3...a_n}$
Ex.$b_3=112123$, $b_4=1121231234$
ถามว่า $b_{64}$ เป็นเลขที่มีกี่หลัก

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$3)\,P_1(x)=2x^2-6x+3$ โดย รากคำตอบของ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$
$\,\,\,\,P_7(x)=x^2-bx+c$ จงหา $b+c$

ผลบวกราก $P_1(x)=3$

จากความสัมพันธ์ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$

จะได้ว่า

ผลบวกราก $P_2(x)=6$

ผลบวกราก $P_3(x)=12$

ผลบวกราก $P_4(x)=24$

ผลบวกราก $P_5(x)=48$

ผลบวกราก $P_6(x)=96$

ผลบวกราก $P_7(x)=192$


ผลคูณราก$P_1(x)=1.5$

จากความสัมพันธ์ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$

แสดงว่าผลคูณรากย่อมเป็น $4$ เท่า จะได้ว่า

ผลคูณราก $P_7(x)=1.5(4^6)=6144$

$b+c=192+6144=6336$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

ข้อ Bonus:
ให้ $a_n=1234...n$
Ex. $a_3=123$, $a_{10}=12345678910$
และ $b_n=\overline{a_1a_2a_3...a_n}$
Ex.$b_3=112123$, $b_4=1121231234$
ถามว่า $b_{64}$ เป็นเลขที่มีกี่หลัก

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}$

$a_1=1$

$a_2=2$

...

$a_9=9$

$a_{10}=11$

$a_{11}=13$

...

$a_{64}=9+2(64-9)=9+110=119$

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}=(1+2+...+9)+(11+13+...+119)=45+[\frac{64-10+1}{2} ](11+119)=45+(27.5)(130)=3620$

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}$

$a_1=1$

$a_2=2$

...

$a_9=9$

$a_{10}=11$

$a_{11}=13$

...

$a_{64}=9+2(64-9)=9+110=119$

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}=(1+2+...+9)+(11+13+...+119)=45+[\frac{64-10+1}{2} ](11+119)=45+(27.5)(130)=3620$

$a_n=1234...n$ เช่น $a_{10}=12345678910$
$b_n\not= a_1+a_2+a_3+...+a_n$ แต่ $b_n=\overline{a_1a_2a_3...a_n}$

[computer]

$4)$จงทำให้ $\displaystyle{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ อยู่ในรูปอย่างง่าย
$5)$ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $k(x^2+x+1)+x^2+3x+1=0$ มีรากคำตอบเพียงค่าเดียว k มีได้กี่ค่า?

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}$

$a_1=1$

$a_2=2$

...

$a_9=9$

$a_{10}=11$

$a_{11}=13$

...

$a_{64}=9+2(64-9)=9+110=119$

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}=(1+2+...+9)+(11+13+...+119)=45+[\frac{64-10+1}{2} ](11+119)=45+(27.5)(130)=3620$

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ แต่ทำไมคำตอบไม่ตรง

$b_{3} = 112123$ มีเลข 1+2+3 ตัว
$b_{4} = 1121231234$ มีเลข 1+2+3+4 ตัว
.
.
$b_{64} = 112123$ มีเลข 1+2+3+...+64 ตัว

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$5)$ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $k(x^2+x+1)+x^2+3x+1=0$ มีรากคำตอบเพียงค่าเดียว k มีได้กี่ค่า

$(k+1)x^2+(k+3)x+(k+1)=0$

มีรากเดียวแสดงว่า $b^2-4ac=0$

$(k+3)^2-4(k+1)^2=0$

$k^2+6k+9-4(k^2+2k+1)=0$

$-3k^2-2k+5=0$

$3k^2+2k-5=0$

$(3k+5)(k-1)=0$

ดังนั้น $k=-\frac{5}{3} ,1$

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$a_n=1234...n$ เช่น $a_{10}=12345678910$
$b_n\not= a_1+a_2+a_3+...+a_n$ แต่ $b_n=\overline{a_1a_2a_3...a_n}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}$

$a_1=1$

$a_2=2$

...

$a_9=9$

$a_{10}=11$

$a_{11}=13$

...

$a_{64}=9+2(64-9)=9+110=119$

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}=(1+2+...+9)+(11+13+...+119)=45+[\frac{64-10+1}{2} ](11+119)=45+(27.5)(130)=3620$

ขอโทษค่ะ หนูเข้าใจผิดเอง

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ แต่ทำไมคำตอบไม่ตรง

$b_{3} = 112123$ มีเลข 1+2+3 ตัว
$b_{4} = 1121231234$ มีเลข 1+2+3+4 ตัว
.
.
$b_{64} = 112123$ มีเลข 1+2+3+...+64 ตัว

อันนี้ไม่ได้ เพราะ$b_{10}$จะไม่ใช่ 1+2+3+...+10 แต่จะเป็น 1+2+3+...+9+11 (10มีเลขโดด2ตัว)

[คนอยากเก่ง]

ว้า ผมนี่แย่จริงๆ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$4)$จงทำให้ $\displaystyle{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ อยู่ในรูปอย่างง่าย

$(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)+(a-b)(b-c)(c-a)$

$(a+c)(2ab-2bc)+(c-a)(2ab+2bc)$

$2b(a+c)(a-c+c-a)=0$