ขอความช่วยเหลือครับ นิยาม Algebra

[rigor]

ในที่นี้ GF(2) = {0, 1} ครับ พอเข้าใจนิยามของ Algebra แต่นึกให้เชื่อมโยงกับสัญลักษณ์ด้านบนแล้วงงครับ ไม่เข้าใจจะมองเป็น vector space ยังไง ขอบคุณมากๆๆครับ

[nooonuii]

vector space ประกอบไปด้วยสองส่วนคือ scalar field กับ vector ถ้ามองสองอย่างนี้ออกก็จะเข้าใจครับ

ในที่นี้ scalar field คือ field $GF(2)$ ซึ่งเป็น Galois field ที่มีสมาชิกสองตัว

ส่วน vector คือสมาชิกของ $\mathcal{P}_m$ ซึ่งเป็น quotient algebra อีกที

สมาชิกใน $\mathcal{P}_m$ จะอยู่ในรูป

$$P(X_1,...,X_m)+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$$

เช่น $X_1+X_2+\cdots+X_m+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$

$X_1+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$

$X_2+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$

จริงๆแล้วไม่มีอะไรพิศดารเลยแค่มองให้เป็นพหุนามสำหรับ $m$ ตัวแปร ที่มี ส.ป.ส แค่ $0,1$

และมี ideal $<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$ พ่วงท้ายอยู่ด้วยครับ

ที่ต้องระวังเวลาใช้งานคือถ้าพหุนามมี combination ของ $X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m$ อยู่ด้วย

ส่วนนี้จะถูกกลืนหายไปในตัว ideal $<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$

เช่น $X_1^2-X_1+X_2+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$

จะเท่ากับ $X_2+<X_1^2-X_1,...,X_m^2-X_m>$ ใน $\mathcal{P}_m$ ครับ

[rigor]

ขอบคุณมากๆเลยครับ พอเข้าใจแล้ว ขอคารวะ