ิจงแก้สมการ หาค่า x

x^y = y^x , x+y <=2000, x, y เป็นจำนวนเต้มบวก

หากต้องการให้ x ^ y = y ^ x ลองพิจารณาขั้นตอนนี้ดู
x ^ y
= x ^ (x z) , z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ y = x z ----(1)
= (x ^ z) ^ x
= y ^ x , นอกจากนี้ z ยังทำให้ x ^ z = y ----(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ว่า
x ^ z = x z
x ^ (z - 1) = z ----(3)
x = z ^ (1 / (z - 1)) ----(4)
นั่นคือ x จะเป็นรากที่ z - 1 ของ z

พิจารณาค่า z ที่เป็นไปได้
ที่ z = 1 จะได้ x = จำนวนเต็มบวกใดๆ และ y = x (จาก (3) และ (1))
ที่ z = 2 จะได้ x = 2 และ y = 4 (จาก (3) และ (1))
ที่ z >= 3 จากการพิจารณาฟังก์ชัน (4) คือ z ^ (1 / (z - 1)) จะพบว่า เป็นฟังก์ชันลด จึงเหลือค่าฟังก์ชัน(หรือค่า x ) ที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ x = 1 จึงได้ว่า z = 1 และ y = 1 (จาก (3) และ (1))

เนื่องจากต้องการให้ x + y <= 2000 จึงได้ว่า x และ y ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าวคือ
1. x = y = จำนวนเต็มบวกใดๆที่ไม่เกิน 1000
2. x = 2 และ y = 4

ปล. ไม่รู้ว่ามีวิธีคิดแบบอื่นหรือเปล่านะ ถ้าใครคิดได้บอกๆกันไว้ ก็ดีครับ

ในกรณีที่ z >= 3 นั้น เนื่องจากฟังก์ชันนี้ มีลิมิตเข้าใกล้ 1 เมื่อ z มีค่าเข้าใกล้อินฟินิตี้ ดังนั้นในช่วงนี้จะ ไม่มีค่าฟังก์ชันที่ เท่ากับ 1 และ เราจะไม่สามารถหาค่าฟังก์ชัน ที่ z = 1 ได้ อย่างไรก็ดี เราสามารถพิจารณจากสมการดั้งเดิมของมันจริงๆคือ สมการที่ อยู่เหนือสมการที่ 3 ทำให้เราสามารถหาได้ว่า ในกรณีที่ x = 1 จะได้ว่า z = 1

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ <คิดด้วยคน>:
หากต้องการให้ x ^ y = y ^ x ลองพิจารณาขั้นตอนนี้ดู
x ^ y
= x ^ (x z) , z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ y = x z ----(1)
= (x ^ z) ^ x
= y ^ x , นอกจากนี้ z ยังทำให้ x ^ z = y ----(2)

ยังไม่เคลียร์ครับว่าทำไม z จึงต้องเป็นจำนวนเต็มบวก

[tana]

ก็ x,y เป็นจำนวนเต็มบวกนี่ครับ
ถ้า z ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก
y=xz ก็ไม่จริงสิครับ
เพราะงั้น z เลยต้องเป็นจำนวนเต็มบวกน่ะครับ ( คิดว่านะครับ )

[R-Tummykung de Lamar]

ไม่นะครับ ผมว่า เพราะว่าถ้า x\(\large \not|\ \ \) y แล้ว z จะไม่เป็นจำนวนเต็มครับ
ดังนั้น ผมว่า น่าจะเป็น z เป็นจำนวนตรรกยะ มากกว่านะครับ

[polaris]

ตรงที่ "นอกจากนี้ z ยังทำให้ x ^ z = y"
มาจากยังงี้หรือเปล่าคับ
จาก y = xz
x^(xz) = (xz)^x
(x^z)^x = (xz)^x
เนื่องจากทั้ง x y และ z มีค่า ณ 0
เมื่อถอดราก ที่ x จึงได้ x^z = xz = y