ท่านพี่ครับ ขอ hint ข้อนี้หน่อยครับ functional analysis

[rigor]

Let $Z$ be a proper subspace of an $n$-dimenstional vector space $X$, and let $x_0 \in X-Z$. Show that there is a linear functional f on $X$ such that $f(x_0)=1$ and $f(x)=0$ for all $x \in Z$.

ที่ผมลองทำคือกำหนด f แบบตรงๆเลย ถ้า $x \in Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 0$ และถ้า $x \in X-Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 1$ แล้วลองแบ่งกรณี $x,y$ อยู่หรือไม่อยู่ใน $Z$ แต่ทดลองเห็นว่าถ้า $x,y \in X-Z$ แล้ว $f(x+y) \not= f(x) + f(y) = 2$

ลองมองว่า basis ของ Z ชุดหนึ่ง $\{e_1, ..., e_r\}$ และ basis ของ X ชุดหนึ่ง $\{b_1, ..., b_n\}$ ซึ่ง $n > r$ แล้วเขียน $x$ เป็น linear combination ของ basis แต่ก็งงๆครับ ไปต่อไม่ถูก

ขอรบกวนด้วยครับ ขอบคุณมากๆครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ rigor

Let $Z$ be a proper subspace of an $n$-dimenstional vector space $X$, and let $x_0 \in X-Z$. Show that there is a linear functional f on $X$ such that $f(x_0)=1$ and $f(x)=0$ for all $x \in Z$.

ที่ผมลองทำคือกำหนด f แบบตรงๆเลย ถ้า $x \in Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 0$ และถ้า $x \in X-Z$ แล้ว ให้ $f(x) = 1$ แล้วลองแบ่งกรณี $x,y$ อยู่หรือไม่อยู่ใน $Z$ แต่ทดลองเห็นว่าถ้า $x,y \in X-Z$ แล้ว $f(x+y) \not= f(x) + f(y) = 2$

ลองมองว่า basis ของ Z ชุดหนึ่ง $\{e_1, ..., e_r\}$ และ basis ของ X ชุดหนึ่ง $\{b_1, ..., b_n\}$ ซึ่ง $n > r$ แล้วเขียน $x$ เป็น linear combination ของ basis แต่ก็งงๆครับ ไปต่อไม่ถูก

ขอรบกวนด้วยครับ ขอบคุณมากๆครับ

ลองทำแบบนี้ดูครับ

สังเกตว่า $x_0$ จะเป็นอิสระกับ $e_1,...,e_r$ (ลองพิสูจน์ดู ไม่ยาก)

ดังนั้น เซต $\{e_1,...,e_r,x_0\}$ เป็น linearly independent set

จากนั้นใช้ทฤษฎีบทที่ว่า เราสามารถขยายเซตนี้ไปเป็น basis ของ $X$ ได้

สมมติเป็น $\{e_1,...e_r,x_0,x_1,...,x_{n-r-1}\}$

ที่เหลือก็นิยาม linear functional แบบนี้

$f(e_i)=0$

$f(x_0)=1$

$f(x_i)=0$ สำหรับ i>0

สำหรับสูตรทั่วไปก็นิยาม

$f(x)=d_0$

เมื่อ $x=c_1e_1+\cdots +c_re_r+d_0x_0+d_1x_1+\cdots +d_{n-r-1}x_{n-r-1}$

ฟังก์ชันนี้ well-defined เพราะเราสามารถเขียน $x$ ให้อยู่ในรูปข้างบนได้เพียงแบบเดียว เนื่องจากเซตที่เราสร้างมาเป็น basis

ส่วน linearity ก็เช็คไม่ยากครับ

[rigor]

โอ๊ว ยอดเยี่ยมมากเลยครับท่านพี่ ขอบคุณมากๆๆครับ