Proof (Hyperbola)

[SolitudE]

จากนิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอ

ให้ จุด $P(x,y)$ อยู่ห่างจากจุดโฟกัส คือ $(c,0) , (-c,0)$ เป็นระยะ $d_1$ และ $d_2$ ตามลำดับ

จากนิยาม จะได้ $|d_1-d_2|=2a$

คือ $|\sqrt{(x+c)^2+(y+0)^2}-\sqrt{(x-c)^2+(y+0)^2}|=2a$

แล้วก็จัดมาเรื่อยๆ จนถึง

$c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2$

$c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2=a^2c^2-a^4$

$x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$

ให้ $c^2-a^2=b^2$ จะได้ $x^2b^2-a^2y^2=a^2b^2$

สุดท้ายจะได้ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

ปัญหาก็คือ เราทราบได้อย่างไรว่า $c^2-a^2>0$ จงพิสูจน์

(และนี่ก็คือการบ้านที่ผมได้รับมา คิดมาสักพักแล้วครับ )

[Amankris]

เพราะว่า $d_1,d_2,2c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมครับ