Proof - Trigonometry (ผลคูณของไซน์)

[Influenza_Mathematics]

ผมเคย Proof มาแล้ว แต่ตอนนี้กลับมา Proof ไม่ได้

Proof that \[\sin\frac{\pi}{n} \sin\frac{2\pi}{n} \cdots \sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}\]

[No.Name]

$x^n-1=0$

เมื่อ $x\not= 1$ ได้ว่า

$(x-\omega )(x-\omega ^2)(x-\omega ^3)...(x-\omega ^{n-1})=x^{n-1}+x^{n-2}+...+1$

$(1-\omega )(1-\omega^2 )(1-\omega^3 )...(1-\omega^{n-1} )=n$

$|(1-\omega )||(1-\omega^2 )||(1-\omega^3 )|...|(1-\omega^{n-1} )|=n$

จากสูตร $(1-\omega ^k)=2\sin\dfrac{k\pi}{n}$

$2^{n-1}\sin\dfrac{\pi}{n}\sin{2\pi}{n}...\sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=n$

$\sin\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{2\pi}{n}...\sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$