ตะลุยโจทย์ Integrate

[Mastermander]

คือ ผมอยากได้โจทย์อินทิเกรตที่ไม่ยาก และง่ายเกินไปอะครับ
เช่นอินทิเกรตตรีโกณ หรือพวก exponential อะครับ
ถ้าผมทำไม่ได้จริงๆ ช่วยสอน step by step ด้วยครับ
ขอบคุณครับ

[M@gpie]

เชิญได้ที่นี่ครับ

[Mastermander]

ผมอ่านแล้วมันไม่ได้ทำเองเลยอะครับ มีโจทย์แล้วก็เฉลยเลย

ยังไงก็ขอโจทย์แบบที่ยังไม่มีเฉลยก่อนด้วยนะครับ

ขอบคุณครับ

[warut]

$$\int \frac{dx}{1+\sin x} $$

[M@gpie]

อา ก็แอบจดโจทย์มาก่อน อย่าเพิ่งไปมองเฉลยจิคับ
ถ้าแอบเห็นก่อนก็จดเสดแล้วรอให้ลืมแล้วค่อยกลับมาทำ ตัวอย่างใน บทความมีเยอะ เลย ไม่ต้องหาไกล

เพิ่มเติมให้ต่อจากคุณ warut ครับ

\[ \int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \]
\[ \int \frac{1}{\sin x} dx \]
\[ \int \sec^3 x \ dx \]


ที่นี่ก็มีตัวอย่างพร้อมแบบฝึกหัดบ้างครับ

[Mastermander]

ลองทำครับ
$$ \int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx $$
ให้ $ u =e^x+e^{-x} $
$$ \frac{du}{dx}=e^x-e^{-x} $$
$$ \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C $$
$$ \int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx=\ln|e^x+e^{-x}|+C $$



$$\begin{array}{rcl} \int \frac{dx}{1+\sin x}&=&\int\frac{1-\sin x}{1-\sin^2x}\ dx\\
&=&\int \frac{1-\sin x}{\cos^2x}\ dx\\
&=&\int \sec^2x\ dx -\int \tan x\sec x \ dx\\
&=&\tan x - \sec x+C \\
\therefore \int\frac{dx}{1+\sin x} &=&\tan x -\sec x +C\end{array}$$

$$\int \frac{dx}{\sin x} = \int \csc x\ dx=\ln|\csc x - \cot x|+c$$

[M@gpie]

Hint : use integration by part : \( \int u dv = uv - \int v du \)
Let : \( u =\sec x \; \text{and} \; dv=\sec^2 x \ dx\)

[Mastermander]

ทำไม่ได้อะครับ

[M@gpie]

Let : \( u =\sec x \; \text{and} \; dv=\sec^2 x \ dx\)
then \( v=\int \sec^2 x \ dx = \tan x \)
ทำการอินทิเกรตทีละส่วน
\[ \begin{array}{rcl} \int \sec^3 x \ dx &= & \sec x \tan x - \int \tan x \ d(\sec x) \\
& = & \sec x \tan x - \int \tan^2 x \sec x \ dx \\
& = & \sec x \tan x - \int (1+ \tan^2 x) \sec x \ dx \\
& = & \sec x \tan x - \int \sec^3 x \ dx + \int \sec x \ dx \\ 2 \int \sec^3 x \ dx & = & \sec x \tan x - ln \mid \sec x +\tan x \mid + C \\
\int \sec^3 x \ dx & = & \frac{1}{2} \sec x \tan x - \frac{1}{2} \ln \mid \sec x +\tan x \mid + C
\end{array} \]

[Mastermander]

ขอบคุณมากครับ

อยากได้โจทย์ที่เป็นเทคนิคพิเศษ, ใช้บ่อยๆ หรือ ทำแล้วได้ข้อคิดอะครับ

ท่านใดที่มีข้อเสนอแนะหรือเกร็ดความรู้ก็เชิญลงได้เลยครับ

ขอบคุณครับ

[passer-by]

แปะไว้ให้ 2 ข้อนะครับ

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x) \ln (\tan x) dx $$

ANS

0

$$ \int_{0}^{16} \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}} dx $$

ANS

$ 4(\frac{2}{3}+\arctan(2)) $

[nooonuii]

ช่วยแปะครับ

$\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3{x}}{\sin^3{x}+\cos^3{x}}}dx$

[M@gpie]

ของพี่ nooonuii ไม่มี hint ออกจะโหดไปหน่อยนะครับ ผมเพิ่มให้ละกัน
Hint : first show that \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx = \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} dx \]
and use this result to calculate \[ \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin^3x +\cos^3 x} \]

[Mastermander]

...

[nooonuii]

Hint เพิ่มเติม $\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=\cos{x}$