?งงงวย?

[Mwit22#]

ข้อสอบMWIT เลขโดด 1-9 นำมาสร้างเป็นเลข 3 หลัก ได้ 729 จำนวนให้หาผลรวมของ 729 จำนวนนั้น แล้วหา ผลรวมของเลขโดดๆ ในจำนวนนั้น ว่าเป็นเท่าใด

มีข้อสงสัยครับจากโจทย์ ถ้าเค้าไม่บอกมาว่ามีทั้งหมด 729 จำนวน เราจะสามารถใช้สูตรอะไรถึงจะหาได้

แล้วโจทย์ข้อนี้ทำอย่างไรครับ

[Mathematicism]

นำตัวเลข 9 ตัวมาสร้างเป็นจำนวน 3 หลักโดยใช้เลขซ้ำกันได้ จะสร้างได้กี่จำนวน
1. หลักหน่วย ใส่ตัวเลขได้ 9 วิธี
2. ในแต่ละวิธีของข้อ 1 สามารถใส่เลขในหลักสิบได้ 9 วิธี
3. ในแต่ละวิธีของข้อ 2 สามารถใส่เลขในหลักสิบได้ 9 วิธี
ดังนั้นจะสร้างจำนวนได้ทั้งหมด $9\times 9\times 9=729$ วิธี

หาผลบวกของจำนวนทั้ง 729 จำนวน
นึกภาพว่าเราเอาจำนวนทั้ง 729 จำนวนนั้นมาตั้งบวกในแนวดิ่ง
ตัวเลขในหลักหน่วยจะมีเลข 1-9 อยู่ อย่างละ 81 ตัว
ผลบวกในหลักหน่วยจึงเท่ากับ $(1+2+3+...+8+9)\times 81=3645$
เช่นเดียวกัน ผลบวกในหลักสิบจะเท่ากับ 36450
ผลบวกในหลักร้อย เท่ากับ 364500
ผลรวมเท่ากับ $364500+36450+3645=404595$
ผลรวมของเลขโดด เท่ากับ $4+0+4+5+9+5=27$

[banker]

มาเสริมให้หน่อยว่า

ที่เขาบอกว่ามี 729 จำนวน นั้น เขามีเหตุผล คือเขาบอกว่าแต่ละจำนวน มีเลขซ้ำกันได้

[Mwit22#]

ขอบคุณครับ

แล้วสูตร $\frac{k!}{(n-k)!}$

กับ $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

เอาไว้ใช้ทำอะไร ในโจทย์แบบไหนครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mwit22#

ขอบคุณครับ

แล้วสูตร $\frac{k!}{(n-k)!}$

กับ $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

เอาไว้ใช้ทำอะไร ในโจทย์แบบไหนครับ

สูตรแีรกผิดนะครับ $\frac{n!}{(n-k)!}$ คือ จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนของที่ต่างกันทั้งหมด n สิ่ง โดยสลับทีละ k สิ่ง โดยสลับเป็นเส้นตรง

เช่น มีคน 5 คน ต้องการนั่งเก้าอี้ซึ่งมีอยู่ 3 ตัวเรียงเป็นเส้นตรง จะนั่งได้ทั้งหมด 5!/(5-3)! = 5!/2! = 120/2 = 60

แต่สูตรนี้ไม่ควรจำโดยไม่รู้ที่มาครับ ที่ควรรู้และเข้าใจคือหลัีกการคูณ ซึ่งเป็นหลักการนับและเป็นที่มาของสูตร

ถ้ามีงาน k ขั้นตอนที่ต้องทำต่อเนื่องกัน

โดยขั้นที่ 1 ทำได้ $n_1$ วิธี

โดยขั้นที่ 2 ทำได้ $n_2$ วิธี

โดยขั้นที่ 3 ทำได้ $n_3$ วิธี

...

โดยขั้นที่ k ทำได้ $n_k$ วิธี

แล้วจำนวนวิธีในการทำงานทั้งหมด จะเท่ากับ $n_1n_2...n_k$ วิธี

ในที่นี้ ถ้ามีเก้าอี้ 3 ตัว ตัวแรกนั่งได้ 5 วิธี ตัวที่สองนั่งได้ 4 วิธี ตัวที่สาม นั่งได้ 3 วิธี ดังนั้นจะนั่งได้ (5)(4)(3) = 60 วิธี