โจทย์เลขยกกำลัง

[truetaems]

1. กำหนด $14^a =2$ และ $14^b = 5$ จงหาค่าของ $70^{\frac{1+a+b}{2(1+b)} }$
2. 7^7^7^7^7^2554 มีเลขหลักสิบและเลขหลักหน่วยเป็นเลขใด (พิมพ์เลขยกกำลังซ้อนกันไม่เป็น T_T)

[Euler-Fermat]

1 ลองพิจารณา $70 = 14*5$
2 ลองสังเกต ดูว่า$ 7^a (a เป็นจำนวนเต็มบวกใด) $ถ้า ยกกำลังเลขคู่หรือคี่เหลือเศษเท่าไร

[Euler-Fermat]

$70 = 14*5 = 14^{1+b}$
$70^{\frac{1+a+b}{2(1+b)}}$ = $14^{1+b}({\frac{1+a+b}{2(1+b)}})$
= $14^{\frac{1+a+b}{2}} = \sqrt{14*2*5} =\sqrt{140}$

[อยากเก่งคณิตศาสตร์ครับ]

$ข้อ 1. ต้องทำให้เป็น ฐาน 70 ครับ$

$วิธีทำนะ โจทบอกมาว่า 14^{a} = 2 และ 14^{b} =5 นำมา คูณกัน$

$จะได้ 14^{a} \times 14^{b} = 5 \times 2 ; (14)^{a+b} = 10 (1)$

$นำ 14 คูณ สมการ (1) จะได้ ; 14^{1+a+b} = 140 (2) $

$14^{1+b} = 70 (3)$

$ นำ (3) ยกกำลัง สอง ทั้งสองข้าง ; 14^{2(a+b)} = 70^{2}$

$เเล้วนำมายกกำลัง \frac{1}{1+b} ทั้ง สองข้างเพื่อกำจัด เลขยกกำลังข้าง 14 ออกไป นะ$

$; 14^{2} = (70^{2})^{\frac{1}{1+b}}$
$ 14^{2} = 70^{\frac{2}{1+b}}$
$ยกกลัง \frac{1}{2}ทั้งสองข้าง$

$;14 = 7^{\frac{1}{1+b}}$

$ ยกกำลัง \frac{1}{2} ทั้งสองข้าง จะได้ ; 14^{\frac{1}{2}} = 70^{\frac{1}{2(1+b)}}$

$แล้วยกกำลัง 1+a+b ทั้ง 2 ข้าง จะได้ ; (14^{\frac{1}{2}})^{1+a+b} = (70)^{\frac{1+a+b}{2(1+b)}}$


$เเล้วกลับ เลขยกกำลัง = (14^{1+a+b})^{\frac{1}{2}} = (70)^{\frac{1+a+b}{2(1+b)}}$

$จาก สมการที่(2) ที่อยู่ข้างบนอ่ะครับ เอามาเเทนค่า (14^{1+a+b}) ได้เลย$

$จะได้ 140^{\frac{1}{2}} = (70)^{\frac{1+a+b}{2(1+b)}} $

$\sqrt{140} = 2\sqrt{35} ตอบ$

วิธีที่ยาวมากครับ ใฃ่วิธีของพี่ Euler-Fermat ดีกว่านะคับ

[truetaems]

ข้อ 2 ผมลองคิดแล้วก็ยังไม่ได้เลยครับ

[funandmun]

2. $7^4\equiv 1(mod100)$

[truetaems]

ขอเป็นวิธีในระดับมัธยมครับ ขอโทษครับลืมบอกไป

[กิตติ]

$7^{7^{7^{7^{7^{2554}}}}}$

$7^2=49$
$7^3=343$
$7^4=2401$
$7^5=16807$
$7^6=117649$
$7^7=823543$
$7^8=5768401$
พอจะเห็นวนรอบของเลขสองท้ายหลักว่า
$7^2,7^6,7^{10},....$ ลงท้ายด้วย $49$ วนทีละ4
$7^3,7^7,7^{11},....$ ลงท้ายด้วย $43$ วนทีละ4
$7^4,7^8,7^{12},....$ ลงท้ายด้วย $01$ วนทีละ4
$7^1,7^5,7^9,7^{13},....$ ลงท้ายด้วย $07$ วนทีละ4
เหลือแต่เช็คว่า $7^{7^{7^{7^{2554}}}}$ จะวนตกมาที่รอบไหน ดูว่าหารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษเท่าไหร่
$7^2$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $1$
$7^3$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $3$
$7^4$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $1$
$7^5$ หารด้วย $4$ เหลือเศษ $3$
เอาง่ายๆคือ เลขยกกำลังเป็นเลขคี่ เหลือเศษ $3$ และ เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ เหลือเศษ $1$
เรารู้ว่า $7^{7^{7^{2554}}}$ ยังไงก็เป็นเลขคี่
ดังนั้นจะได้ว่า $7^{7^{7^{7^{2554}}}}$ หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ $3$


ดังนั้น เลขสองหลักท้ายของ $7^{7^{7^{7^{7^{2554}}}}}$ คือ $43$

[cardinopolynomial]

เขียนให้ง่ายขึ้น

$7^{4k} หารด้วย 100 เหลือเศษ 1$

$7^{4k+1} หารด้วย 100 เหลือเศษ 7$

$7^{4k+2} หารด้วย 100 เหลือเศษ 49$

$7^{4k+3} หารด้วย 100 เหลือเศษ 43$

$7^{7^{7^{7^{7^{2554}}}}}$ เลขยกกำลังเป็นคี่เหลือเศษ 3

จึงได้ว่า $7^{7^{7^{7^{7^{2554}}}}}$= $ 7^{4(x)+3} $

เลข 2 หลักคือ 43

[truetaems]

#10 เพราะเหตุใดถึงรู้ว่าสองหลักท้ายคือ 43 ครับ??
#11 ผมไม่เข้าใจวิธีคิดครับ ขอคำอธิบายเพิ่มเติมครับ ขอบคุณครับ

[truetaems]

อีกข้อครับ
จงหาทศนิยมตำแหน่งที่ 2002 ของ $\frac{1}{14}$ ว่าเป็นเลขอะไร

[Euler-Fermat]

โจทย์แนวมันคล้ายกันครับ
ลองตั้งหารยาวดูครับ $\frac{1}{14} = 0.0714285714285.....$
ถามตำแหน่ง$ 2002$ แต่ มันมี $0$ ตัวแรก ดังนั้น เราไม่นับ$ 0$ เริ่มนับที่ $7$ แสดงว่าเราต้องการหาตำแหน่งที่ $2001$
เห็นได้ว่า $714285714285..... 6$ ตัววนลูป
$2001 \div 6 = 333(6) +3 $
ดังนั้นตำแหน่งที่ $2002$ คือเลข $4$

[cardinopolynomial]

พิจารณา

$7^1=7 หารด้วย 100 เศษ 7$

$7^2=49 หารด้วย 100 เศษ 49$

$7^3=343 หารด้วย 100 เศษ 43$

$7^4=2401 หารด้วย 100 เศษ 1$

$7^5=16807 หารด้วย 100 เศษ 7$

$7^{4k} หารด้วย100เหลือเศษ1$

$7^{4k+1} หารด้วย100เหลือเศษ7$

$7^{4k+2} หารด้วย100เหลือเศษ49$

$7^{4k+3} หารด้วย100เหลือเศษ43$

พิจารณา $7^1=7=4(1)+3$

$7^3=343=4(85)+3$

$7^5=16807=4(4201)+3$

$7^{7^{7^{7^{7^{2554}}}}}=7^{(4(x)+3)}$

[truetaems]

ขอบคุณมากครับ