ช่วยคิดทีครับ

[ชีวิตคือคณิตศาสตร์]

1.$ax^2+bx+c \leqslant y$โดยที่a,b,cเป็นจำนวนจริง แต่a<0 ดังนั้นค่าyที่น้อยสุดเป็นเท่าใด

2.$1/\sqrt{x_1} +1/\sqrt{x_2} +1/\sqrt{x_3} +...1/\sqrt{x_{100}}$ =20 จงแสดงว่ามีจำนวนที่ซ้ำกันอย่างน้อย2ตัว

3.$m^6+n^6=x^2+y^2 เมื่อ m^3\not\in x , y\not\in n^3$ จงหาค่า xและyในรูปของmและn

4.จงหาค่าของ $2^n$ที่มากที่สุดที่หาร $3^{1024}$-1 ลงตัว

[wee]

ข้อที่4 ลองศึกษาดูครับ
ทฤษฎีบทนี้ ผมเอามาจากหนังสือทฤษฎีจำนวนของโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์

[polsk133]

#2 แล้วจะรู้ได้ไงอะครับว่ามากสุดแล้ว

[wee]

ลองแทน n=1,2,3,4,.. แล้วพิจารณารูปแบบดูครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ชีวิตคือคณิตศาสตร์

4.จงหาค่าของ $2^n$ ที่มากที่สุดที่หาร $3^{1024}-1$ ลงตัว

สำหรับ $k \ge 1$ พิจารณา $3^{2^k}+1 \equiv 2 \pmod{4}$

แสดงว่าจำนวนที่อยู่ในรูปของ $3^{2^k}+1$ มี 2 เป็นตัวประกอบได้อย่างมากแค่กำลัง 1

จากนั้นกระจาย $3^{1024}-1=(3^{512}+1)(3^{256}+1)(3^{128}+1)\cdots(3^2+1)(3^2-1)$

นั่นนับว่ามีกี่วงเล็บ + วงเล็บสุดท้ายที่เป็น $8=2^3$ เข้าไปได้ $n=12$ เป็น maximum

[ชีวิตคือคณิตศาสตร์]

ขอบคุณครับช่วยข้ออื่นด้วยครับ