ผมมีอสมการข้อนึง อยากได้หลายๆSolutionอะครับ

[Spotanus]

ให้ \(a,b,c\) เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมแหลม จงแสดงว่า
\(a+b+c \geq \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}+ \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}+\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)

Proof

จาก Power mean จะได้ \(\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2} } +\sqrt{\frac{y^{2}+z^{2}}{2} }+\sqrt{\frac{z^{2}+x^{2}}{2} }\geq x+y+z \) ทุก \(x,y,z> 0\)
เนื่องจาก\(a,b,c\) เป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมแหลม ดังนั้น
\[\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}, \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}},\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}> 0\]
จึงสามารถแทน
\[x=\sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}, y=\sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}, z=\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}\]
จะได้ว่า \[a+b+c \geq \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}+ \sqrt{a^{2}-b^{2}+c^{2}}+\sqrt{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}\] ตามต้องการ

[dektep]

$\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2} \leq \sqrt{2}(\sqrt{2a^2}) = 2a$ โดยอสมการโคชี
$$\therefore \sum_{cyc}(\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2}) \leq 2(a+b+c)$$
$\therefore$ $2(\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2}+\sqrt{-a^2+b^2+c^2})
\leq 2(a+b+c)$
$\therefore$ $a+b+c \geq (\sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2}+\sqrt{-a^2+b^2+c^2})$

[Spotanus]

ผมอ่านแล้วรู้สึกเป็น Solution ที่ใช้โคชีได้เจ๋งมากเลย
ขอบคุณมากครับ

[Uranus Hunter]

จาก a,b,c เป็นด้านของสามเหลี่ยม เพราะฉะนั้น

โดยโคชี $\sum_{cyc} {\sqrt {a^2+b^2-c^2}} = \sum_{cyc} {\sqrt {2bc \dot cosA }}
\leq \sqrt {(ab+bc+ca)(2cosA+2cosB+2cosC)}$

แต่โดย Jensen เราสามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า

$\sqrt {(ab+bc+ca)(2cosA+2cosB+2cosC)} \leq {a+b+c}$