ช่วยคิดหน่อยครับ

[rumiko]

1.จงหาจำนวนเต็ม a ทั้งหมดที่ทำให้ x^2-x+a เป็นตัวประกอบของ x^13+x+90

2.จงหาพหุนามP(x) ที่มีกำลังน้อยสุด ซึ่งเมื่อหาร p(x) ด้วย (x-1)^2 และ (x-2)^3 เหลือเศษ 2x และ 3x ตามลำดับ

[กิตติ]

แปลงเป็นLatexเพื่อให้ง่ายต่อการดู
1.จงหาจำนวนเต็ม $a$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$
2.จงหาพหุนาม$P(x)$ ที่มีกำลังน้อยสุด ซึ่งเมื่อหาร $p(x)$ ด้วย $(x-1)^2$ และ $(x-2)^3$ เหลือเศษ $2x$ และ $3x$ ตามลำดับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ rumiko

1.จงหาจำนวนเต็ม a ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$

ข้อนี้ผมลองคิดออกมา 2 วิธีครับ แต่วิธีทั้งสองไม่สวยเลย

วิธีที่ 1

ให้ $(x^{13}+x+90) = (x^2-x+A)(a_{11}x^{11}+a_{10}x^{10}+...+a_1x+a_0)$

ชัดเจนว่า $a_{11} = 1$ และ $a_0 = \frac{90}{A}$

ดังนั้น $(x^{13}+x+90) = (x^2-x+A)(x^{11}+a_{10}x^{10}+...+a_1x+\frac{90}{A})$

เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{12}$ , $0 = a_{10}-1 $ แล้ว $a_{10} = 1$

เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{11}$ , $0 = a_9-a_{10}+Aa_{11} $ แล้ว $a_9 = a_{10}-Aa_{11}$
เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{10}$ , $0 = a_8-a_{9}+Aa_{10} $ แล้ว $a_8 = a_{9}-Aa_{10}$
....

เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{3}$ , $0 = a_1-a_{2}+Aa_{3} $ แล้ว $a_1 = a_{2}-Aa_{3}$

เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{1}$ , $1 = -a_0 + Aa_1$ แล้ว $a_1 = \frac{1+a_0}{A} = \frac{1}{A} + \frac{90}{A^2}$

จากความสัมพันธ์เวียนเกิดในกล่องด้านบน จะได้

$a_9 = 1 - A$

$a_8 = 1 - 2A$

$a_7 = 1-3A + A^2$

$a_6 = 1-4A + 3A^2$

$a_5 = 1-5A + 6A^2 - A^3$

$a_4 = 1-6A + 10A^2 - 4A^3$

$a_3 = 1-7A + 15A^2-10A^3+A^4$

$a_2 = 1 - 8A + 21A^2 - 20A^3 + 5A^4$

$a_1 = 1-9A + 28A^2 - 35A^3+15A^4-A^5$

ค่าของ $a_1$ ต้องเท่ากัน จึงได้ว่า

$a_1 = 1-9A + 28A^2 - 35A^3+15A^4-A^5 = \frac{1}{A} + \frac{90}{A^2}$

จัดรูปจะได้

$A^7 - 15A^6+ 35A^5 - 28A^4 + 9A^3 - A^2 + A + 90 = 0$

จากทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ รากของสมการที่เป็นจำนวนตรรกยะจะต้องเป็นตัวประกอบทั้งหมดของ 90 ในเบื้องต้นจะพบว่า A = 2 หรือ A = -1 จะทำให้สมการเป็นจริงเท่านั้น ดังนั้น $x^2-x+2$ หรือ $x^2-x-1$ จะเป็นตัวประกอบที่อาจเป็นไปได้

แต่เมื่อตรวจคำตอบโดยการตั้งหารยาว (หรือใช้แนวคิดในวิธีที่ 2) จะพบว่า $x^2-x+2$ เท่านั้นที่เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$

[★★★☆☆]

วิธีที่ 2

ให้ x เป็นรากของสมการ $x^{13}+x+90=0$ และ $x^2-x+A = 0$ ทั้งคู่ ดังนั้น x ที่เป็นรากของสมการ $x^2-x+A = 0$ จะเป็นรากของสมการ $x^{13}+x+90=0$ ด้วย

$x^2 = x - A$

$x^6 = x^3 - 3Ax^2 + 3A^2x - A^3$

$=(x-A)x - 3A(x-A) + 3A^2x - A^3$

$= (3A^2-4A+1)x-(A^3-3A^2+A)$

$x^{12} = (x^6)^2 = (3A^2-4A+1)^2x^2-2(3A^2-4A+1)(A^3-3A^2+A)x + (A^3-3A^2+A)^2$

$= (3A^2-4A+1)^2(x-A)-2(3A^2-4A+1)(A^3-3A^2+A)x + (A^3-3A^2+A)^2$

$x^{13} = (3A^2-4A+1)^2[(1-A)x-A]-2(3A^2-4A+1)(A^3-3A^2+A)(x-A) + (A^3-3A^2+A)^2x$

เีทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^1$ จะได้ว่า

$(3A^2-4A+1)^2(1-A)-2(3A^2-4A+1)(A^3-3A^2+A) + (A^3-3A^2+A)^2+1=0$

จะพบว่าจำนวนเต็ม A ที่ทำให้สมการข้างต้นเป็นจริงคือ A = 2 เท่านั้น

[หยินหยาง]

ผมลองเสนอให้อีกวิธี แต่ไม่รู้ว่าสวยหรือเปล่า

ให้ $q(x)(x^2-x+a) = x^{13}+x+90$
แทน $x = 0 $ จะได้ว่า $a|90$
แทน $x = 1 $ จะได้ว่า $a|92$
ดังนั้น $a$ ที่เป็นไปได้คือ $-1, 1, -2, 2$ แต่จะเห็นว่า $a \not= -2$ เพราะจะทำให้รากของสมการคือ $2$ กับ $-1$ ซึ่งไม่จริง
ต่อไปจะพิจารณาค่า a ที่เหลือ
แทน $x = -1 $ จะได้ว่า $a+2|88$ จะเห็นว่า $a \not= 1$
แทน $x = 3 $ จะได้ว่า $a+6|3^{13}+93$ ถ้าให้ $a = -1$ จะเห็นว่าไม่จริง
ต่อไปจะตวรจสอบว่า $a=2 $ ใช้ได้หรือไม่
ดังนั้น $x^2 = x-2$
$x^4 = x^2-4x+4 =-3x+2$
$x^8 = 9x^2-12x+4 =-3x-14$
$x^8*x^4 = (-3x-14)(-3x+2) =9x^2+36x-28 =45x-46$
$x^{13} = 45x^2-46x =-x-90$
$x^{13}+x+90 =0$
แสดงว่า มี $a = 2$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง