โจทย์ตรีโกณจากข้อสอบแพทย์(?)ครับ

[Mathopolis]

ให้ $a,b,c$ เป็นด้านตรงข้ามของมุม $A,B,C$ ของรูปสามเหลี่ยม
ถ้า $a^{2}+b^{2}=2553c^{2}$ แล้ว จงหาค่าของ $\frac{cotC}{cotA+cotB} $

ขอบคุณล่วงหน้าครับ พยายามแก้ แล้วคำตอบออกมาไม่สวยเลยไม่มั่นใจครับ ^^

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathopolis

ให้ $a,b,c$ เป็นด้านตรงข้ามของมุม $A,B,C$ ของรูปสามเหลี่ยม
ถ้า $a^{2}+b^{2}=2553c^{2}$ แล้ว จงหาค่าของ $\frac{cotC}{cotA+cotB} $

ขอบคุณล่วงหน้าครับ พยายามแก้ แล้วคำตอบออกมาไม่สวยเลยไม่มั่นใจครับ ^^

ไม่ยากครับ ได้ 2552/2 = 1276

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

มาร่วมเฉลยละเอียดครับ
$\dfrac{cotC}{cotA+cotB}=\frac{cosC}{sinC} \div (\frac{cosA}{sinA} +\frac{cosB}{sinB} ) $
$=\frac{cosC}{sinC} \div (\frac{sinBcosA+sinAcosB}{sinAsinB} ) $
$=\frac{sinAsinBcosC}{sinCsin(A+B)} $

ว่าไปแล้วถ้า $A+B+C=180^0$ แล้ว$sin(A+B)=sinC$
ดังนั้น จะได้ $=\frac{sinAsinBcosC}{sinCsinC} $
จากกฎของsine $\frac{a}{sinA} =\frac{b}{sinB} =\frac{c}{sinC} $
จะได้ $\frac{sinA}{sinC} =\frac{a}{c} ,\frac{sinB}{sinC} =\frac{b}{c}$
จะได้ $=\frac{sinAsinBcosC}{sinCsinC}=\frac{ab(cosC)}{c^2} $

แล้วใช้กฎของcosine อีกรอบ$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $
เนื่องจาก$a^2+b^2=2553c^2$ดังนั้น $cosC=\frac{2553c^2-c^2}{2ab} $
เหลืออีกนิดน่าจะเห็นคำตอบได้เองแล้วครับ

[กิตติ]

ผมนั่งแปลง$\frac{cotC}{cotA+cotB}= \frac{1}{2}\left(\,1+\frac{cos(A-B)}{cosC} \right) $
เดี๋ยวคิดต่อเสร็จ เข้ามาเขียนคำตอบอีกทีครับ.....ผมแปลงผิดครับ
วิธีของคุณกระบี่น่าจะสั้นที่สุดแล้ว

[Mathopolis]

ขอบคุณมากๆเลยครับผม ^^ แอบคิดออกแล้วเหมือนกัน ด้วยวิธีคล้ายๆคุณกระบี่