ช่วยแสดงวิธีทำที่ง่ายที่สุดให้หน่อยครับ

[Poomee]

$\sum_{n = 1}^{2009} \sqrt{1+\frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} }$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poomee

$\sum_{n = 1}^{2009} \sqrt{1+\frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} }$

$\sum_{n = 1}^{2009} \sqrt{1+\frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} }$

$\sum_{n = 1}^{2009} (1+\frac{1}{n} -\frac{1}{(n+1)})$

$=2009+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2009})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010})$

$=2010-\frac{1}{2010}$

[Aquila]

มาทำให้ดูอีกวิธี

ให้ $z=(1-\frac{1}{n}i)(1+\frac{1}{n+1}i)$ และ $\overline{z}=...$
จาก $z\cdot \overline{z}=|z|^2$

จะได้ $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+(\frac{1}{n^2(n+1)^2})=(1+\frac{1}{n(n+1)})^2+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2$

แต่ว่า $(\frac{1}{n^2(n+1)^2})=(\frac{1}{n(n+1)})^2=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2$

ก็เลยได้เป็น $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=(1+\frac{1}{n(n+1)})^2$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

มาทำให้ดูอีกวิธี

ให้ $z=(1-\frac{1}{n}i)(1+\frac{1}{n+1}i)$ และ $\overline{z}=...$
จาก $z\cdot \overline{z}=|z|^2$

จะได้ $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+(\frac{1}{n^2(n+1)^2})=(1+\frac{1}{n(n+1)})^2+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2$

แต่ว่า $(\frac{1}{n^2(n+1)^2})=(\frac{1}{n(n+1)})^2=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2$

ก็เลยได้เป็น $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=(1+\frac{1}{n(n+1)})^2$

ไม่เคยเห็นแฮะ

[mathph]

อาจจะงง
งั้นพิจารณา $1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}=\dfrac{n^2(n^2+2n+1)+n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}$
$\dfrac{(n^2+n)^2+2(n^2+n)+1}{(n(n+1))^2}$ เพราะฉะนั้นถอดรูทสบายครับ^^