จาก DMO 2009-2010

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อไหนครับ

ข้อนี้แหละครับ งง จัดรุปไงดีครับ
Vietnam National Olympiad 2004

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

HINT $30+2-2(16)=0$ แล้วลองจัดรูปดูครับ

ปล ข้อข้างบน
$YC=1/2(BC)=1/2$
$XY=CD+1/2(AD)=3/2$
$XC$ ใช้พิทากอรัสหา

แล้วสุดท้ายใช้สามเหลี่ยมคล้ายอ่ะครับ

ขอบคุณมากๆครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ให้ $A=x^3,B=\sqrt[3]{2x-1}$
จากโจทย์จะได้
$\frac{A+1}{2}=B----------(1)$
พิจรณา
$ B^3=2x-1$
$(\frac{B^3+1}{2})^3=x^3=A----------(2)$
แทน$(2)$ใน$(1)$ จะได้
$\frac{(\frac{B^3+1}{2})^3+1}{2}=B$
$(\frac{(\frac{B^3+1}{2})^3+1}{2})^3=B^3=2x-1$
$(\frac{(\frac{(\frac{B^3+1}{2})^3+1}{2})^3+1}{2})^3=x^3=A----------(3)$
แทน$(3)$ใน$(1)$ แล้วทำวนแบบนี้ไปเรื่อยๆ จะได้
$(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{B^3+1}{2})^3+1}{2})^3+1}{2})^3+1}{2})^3+..}{..})^3 =B$
$B^3=B$
$B=-1,1,0$
ได้$x=1,0,\frac{1}{2}$
แต่ $x=1$ เป็นจริงแค่ค่าเดียว

ผิดถูกอย่างไรชี้แนะด้วย

มีค่าอื่นอีกนอกจาก 1 ที่ทำให้สมการเป็นจริงครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มีค่าอื่นอีกนอกจาก 1 ที่ทำให้สมการเป็นจริงครับ

จริงด้วยครับ แก้พลาดไปหน่อย จะจัดการแก้ครับ

ปล ได้วิธีใหม่ที่ทำให้ งง น้อยลง (หรือป่าว) แล้ว

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

$x^3+1 = 2\sqrt[3]{2x-1}$
$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2x-1}-1} $
แทน ค่า $x$ กลับเข้าไป
$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2 \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2x-1}-1} -1}-1} $
ทำไปเรื่อยๆ
$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2 \sqrt[3]{2\sqrt[3]{...}-1} -1}-1} $
จะได้
$x=\sqrt[3]{2x-1} $
$x^3=2x-1$
$(x-1)(x^2+x-1)=0$
$x=1,\frac{-1\pm \sqrt{5} }{2}$

ปล ขอบคุณคุณหยินหยางครับ
ถ้าพลาดตรงไหนอีกโปรดท้วงด้วยนะครับ

ไม่มีอะไรท้วงครับเพียงแต่ให้ระวังว่าจะใช้วิธีนี้ต้องรู้เงื่อนไขด้วยนะครับ หรือรู้ว่ามัน ลู่เข้า ไม่งั้นก็ต้องนำคำตอบมาทดสอบครับ แต่โจทย์บางครั้งไม่ง่ายที่จะทดสอบครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

จงแก้ระบบสมการ $$\begin{array}{rcl} x^3 + x(y-z)^2 & = & 2 \\ y^3 + y(z - x)^2 & = & 30 \\ z^3 + z(x - y)^2 & = & 16 \end{array}$$ ที่มา Vietnam National Olympiad 2004

เอามาจากกระทู้ที่ Art_ty พิมพ์ไว้

$ผมหาได้ว่า x=y=z แล้วทำไงต่อครับ หรือไม่เท่ากันครับ
แล้วx=\sqrt[3]{2}
แล้วy= \sqrt[3]{20}
z=\sqrt[3]{16}
หรือไม่ครับ$