ปัญหาของการพิสูจน์อสมการ

[nooonuii]

สองข้อนี้มีอสมการโคชีเข้าไปร่วมด้วยแต่สามารถใช้อสมการอื่นก็ได้
โดยเฉพาะข้อ 49 ผมมีอยู่สามวิธี

$a,b,c>0$

48. ถ้า $a+b+c=6$ แล้ว $$\dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+\sqrt{c+a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$$

49. $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{ b}+\dfrac{a}{c}\Big)$

[tatari/nightmare]

ร่วมด้วยช่วยกัน
50.$x,y,z\in\mathbb{R}$ โดยที่ $-\frac{\sqrt{2}}{2}\not\in${x+y,y+z,z+x}
$$\sum_{cyc}\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \dfrac{3}{4}$$

[beginner01]

48.พิจารณา $\displaystyle\sqrt{b+c}=\frac{1}{2}\sqrt{4(b+c)}\leq\frac{4+b+c}{4}=\frac{10-a}{4}$
$\therefore\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}\geq\frac{1}{\sqrt{a+\frac{10-a}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{10+3a}}$
ดังนั้น $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}\geq\sum_{cyc}\frac{2}{\sqrt{10+3a}}$
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $\left(0,6\right)$ ไปยังเซตของจำนวนจริง นิยามโดย $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{10+3x}}$
จาก $\displaystyle f''(x)=\frac{27}{4(10+3x)^\frac{5}{2}}\geq 0$
ดังนั้น จากอสมการ Jensen ได้ว่า
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{2}{\sqrt{10+3a}}\geq 3\frac{2}{\sqrt{10+3\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}}$
$\displaystyle =\frac{6}{\sqrt{16}}=\frac{3}{2}$

$\displaystyle\therefore\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}\geq\frac{3}{2}$ ตามต้องการ

49.กระจายอสมการ ได้ว่าอสมการสมมูลกับ
$\displaystyle3+\sum_{sym}\frac{a}{b}\leq3+\sum_{cyc}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}\right)$
พิจารณา $\displaystyle\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}+1\geq 3\frac{a}{c}$ ($\because$ AM-GM)
จะได้ว่า $\displaystyle\sum_{sym}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}+1\right)\geq 3\sum_{sym}\frac{a}{c}$
นั่นคือ
$\displaystyle3+\sum_{cyc}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}\right)\geq\frac{3}{2}\sum_{sym}\frac{a}{c}$
แต่จาก $\displaystyle\sum_{sym}\frac{a}{c}\geq6$ (สามารถแสดงได้โดย AM-GM)
$\displaystyle\therefore3+\sum_{cyc}\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}\right)\geq\frac{3}{2}\sum_{sym}\frac{a}{c}\geq\sum_{sym} \frac{a}{b}+\frac{1}{2}(6)=\sum_{sym}\frac{a}{b}+3$

ดังนั้น $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})\leq(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สองข้อนี้มีอสมการโคชีเข้าไปร่วมด้วยแต่สามารถใช้อสมการอื่นก็ได้
โดยเฉพาะข้อ 49 ผมมีอยู่สามวิธี

$a,b,c>0$

48. ถ้า $a+b+c=6$ แล้ว $$\dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+\sqrt{c+a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$$

49. $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{ b}+\dfrac{a}{c}\Big)$

มีคนมาเฉลยแล้ว ผมขอเฉลยอีกวิธีละกัน

48.

My Solution:

Cauchy; $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq\sqrt{6(a+b+c)}=6$

Cauchy; $\sqrt{a+\sqrt{b+c}}+\sqrt{b+\sqrt{c+a}}+\sqrt{c+\sqrt{a+b}}\leq \sqrt{3(a+b+c+\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})}\leq 6$

AM-HM; $LHS\geq\dfrac{9}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}+\sqrt{b+\sqrt{c+a}}+\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$

49.

First Solution:

ให้ $x=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

$y=\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

จะได้อสมการสมมูลกับ

$3+x+y\leq xy$

$(x-1)(y-1)\geq 4$

ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $x\geq 3,y\geq 3$

Second Solution:

ใช้อสมการจาก Iran 2005

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)^2$

ในทำนองเดียวกัน

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)^2$

คูณทั้งสองอสมการจะได้อสมการที่ต้องการ

Third Solution:

ใช้อสมการโคชีล้วนๆ

$a+b+c=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\cdot\sqrt{ab}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}\cdot\sqrt{bc}+\sqrt{\dfrac{c}{a}}\cdot\sqrt{ca}$
$~~~~~~~~~~~\leq\sqrt{\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)(ab+bc+ca)}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\sqrt{\dfrac{b}{a}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{bc} }+
\sqrt{\dfrac{a}{c}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ca}}$
$~~~~~~~~~~~~~\leq\sqrt{\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)}$

ดังนั้น

$(a+b+c)^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2\leq \Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+
\dfrac{a}{c}\Big)(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$

แต่ว่า

$(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)=(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$

ดังนั้นเราได้อสมการที่ต้องการ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ร่วมด้วยช่วยกัน
50.$x,y,z\in\mathbb{R}$ โดยที่ $-\frac{\sqrt{2}}{2}\not\in${x+y,y+z,z+x}
$$\sum_{cyc}\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \dfrac{3}{4}$$

เห็นไม่มีคนโพสซักที...
เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \frac{1}{4}$
ก็ต่อเมื่อ
$3+2x^2+2y^2+4x^2y^2\geq 2\sqrt{2} (x+y) +4xy$
ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ Am-Gm
$(2x^2+1)+(2y^2+1)+(4x^2y^2+1)\geq 2\sqrt{2} (x+y) +4xy$
จบการพิสูจน์

[SpammingMan]

เอาโจทย์มาเพิ่ม...
$a,b,c\geq 0$
$a+b+c=3$
$\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

เอาโจทย์มาเพิ่ม...
$a,b,c\geq 0$
$a+b+c=3$
$\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$

Solution

ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ
$\displaystyle\sum_{cyc} \frac{6a-6}{a^2+3}<1$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2}{a^2+3}>2$
จากอสมการโคชีได้ว่า
$\displaystyle\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2}{a^2+3}\geq\frac{4(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+9}=\frac{18+2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)}{9+a^2+b^2+c^2}=2+\frac{4(ab+bc+ca )}{9+a^2+b^2+c^2}$
หาก $ab+bc+ca=0$ ก็ต่อเมื่อมีอย่างน้อยสองตัวจาก $a,b,c$ ที่เท่ากับ 0 ซึ่งจะทำให้ $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}=-\frac{1}{2}<\frac{1}{6}$
หาก $ab+bc+ca>0$ ดังนั้น $\displaystyle2+\frac{4(ab+bc+ca)}{9+a^2+b^2+c^2}>2$

จากทั้ง 2 กรณี ดังนั้น $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$ ตามต้องการ

[Suwiwat B]

ถามอะไรหน่อยได้ไหมครับ

เรื่องของอสมการพวก Cauchy,Chebybhev ... นะครับ ไปหาเรียนกันที่ไหนเหรอครับ

หรือว่าเก่งกันเอง.....

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ถามอะไรหน่อยได้ไหมครับ

เรื่องของอสมการพวก Cauchy,Chebybhev ... นะครับ ไปหาเรียนกันที่ไหนเหรอครับ

หรือว่าเก่งกันเอง.....

ผมอาศัยเรียนจากตำราครับ

แต่ถ้าเป็นเด็กๆเขาจะได้เรียนในค่ายเสริมทักษะคณิตศาสตร์ต่างๆ อย่างเช่น สอวน. สสวท. ฯลฯ

[LightLucifer]

มาเติมโจทย์ให้ครับ
51.
ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า
$36\sum_{cyc}(a^2+b^2)^2+2(a^2+b^2+c^2)+24 \geq \sum_{cyc}(6ab+a)^2+\sum_{cyc}(6ab+b)^2$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมว่าสิ่งแรกที่จะต้องมีคือเอกลักษณ์พีชคณิตต่างๆครับ

ฝึกใช้ให้เคยชิน อย่างเช่น ถ้าอสมการมีเทอม

$(1+a)(1+b)(1+c)$ อยู่

เราต้องรู้ทันทีว่ามันมีอีกรูปหนึ่งคือ

$1+a+b+c+ab+bc+ca+abc$

อย่างที่สองคือ ความสามารถในการมองตัวแปรที่ยุ่งๆ

ให้กลายเป็นตัวแปรอีกชุดนึงซึ่งทำให้เราทำอะไรได้ง่ายกว่า

เช่นถ้าเราต้องพิสูจน์อสมการ

$(a-b)(a^2-b^2)\leq (\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3})^2$

ควรมองให้ออกว่าน่าจะเปลี่ยนตัวแปรไปอีกรูปแบบนึง

เพราะอสมการมีเทอมที่ติดรากที่สองทำให้ดูยุ่งๆ

ถ้้าเราให้ $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$

จะทำให้เราได้อสมการในรูปของ $x,y,z$ เป็น

$(x^2-y^2)(x^4-y^4)\leq (x^3-y^3)^2$

ซึ่งก็เป็นอสมการเดียวกันกับที่เราเพิ่งพิสูจน์ไปนั่นเอง

อย่างที่สามคือ ความรู้เกี่ยวกับอสมการพื้นฐาน อันนี้ผมถือว่าจำเป็นมากๆ

เพราะผิดกันบ่อยมาก แม้แต่ผมเองซึ่งทำโจทย์อสมการมานับไม่ถ้วนก็ยังผิดอยู่บ่อยครั้ง

อสมการพื้นฐานคืออะไร? ก็อสมการอย่างเช่น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a^2\leq b^2$ เป็นต้น

เราต้องรู้ว่าเมื่อไหร่อสมการจริง เมื่อไหร่ไม่จริง

หรืออย่างกรณีที่ผิดกันบ่อยๆก็อย่างเช่น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $\dfrac{1}{b}\leq\dfrac{1}{a},-b\leq -a$
อย่างที่สี่คือ ความสามารถในการจัดรูปครับ อันนี้ไม่ต้องการทักษะอะไรเลย

ใช้ความอึดอย่างเดียว บางอสมการแค่จัดรูปย้อนกลับก็ออกแล้วครับ

แต่ถ้าเป็นระดับผู้ที่ชำนาญแล้วการจัดรูปจะทำได้หลากหลายวิธี

อันนี้ต้องฝึกฝนกันเยอะหน่อยครับ

อย่างที่ห้า คือ อสมการสำเร็จรูปทั้งหลาย อันนี้คงไม่ต้องแนะนำอะไรมาก

เพราะส่วนใหญ่จะต้องเรียนกันอยู่แล้ว ฝึกใช้ให้คล่องก็แล้วกัน

ที่เหลือก็อยู่ที่ประสบการณ์ในการทำโจทย์แล้วล่ะครับ

อีกอย่างที่แนะนำให้ทำคือ ลองฝึกสร้างอสมการขึ้นมาด้วยตัวเองโดยใช้ความรู้ที่เรามีอยู่

จะช่วยให้เราชำนาญมากขึ้น

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $-b\leq -a$ ทำไมถึงผิดครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ถ้า $a\leq b$ แล้ว $-b\leq -a$ ทำไมถึงผิดครับ

น่าจะผิดครับ
ผมหมายถึง ท่าน nooonuii คงพิมพ์ผิดครับ

[lek2554]

ผมนึกไม่ออกจริง ๆ ครับ ว่า ถ้า $a\leqslant b$ แล้ว $-b\leqslant-a$ ทำไมถึงผิด

รบกวนผู้รู้ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ

[หยินหยาง]

#148

ลองดูที่ข้อความผมดีๆครับ ลองกดลากตรงบรรทัดล่างดูครับ แล้วจะ... oh my god.

[lek2554]

Oh! มันเป็นเช่นนี้เอง