ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมต้น 2552

[Kowit Pat.]

ข้อ 12.



จาก $1+d_1+d_2+d_3+...+d_k = (1+2+2^2+2^3+..+2^{n-1})(1+2^n-1)$

ดังนั้น $1+d_1+d_2+d_3+...+d_k = (2^n-1)(2^n)$ ...... (1)

จากโจทย์ค่าของ $1+\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\frac{1}{d_2}++\frac{1}{d_3}+...+\frac{1}{d_k} = \frac{d_k+...+d_3+d_2+d_1+1}{d_k}$ ... (2)

แทนค่า (1) ลง (2) และ $d_k=N$ จะได้
$$\frac{(2^n-1)(2^n)}{N} = \frac{(2^n-1)(2^n)}{(2^{n-1})(2^n-1)} = 2$$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ถ้า $N=2^{n-1}(2^n-1)$ เมื่อ $2^n-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
เช่น n=2 จะได้ $N=6$
n=3 จะได้ $N=28$
อันนี้เรียกว่าจำนวนสมบูรณ์(perfect number) ใช่ไหมครับ
ข้อนี้ใช้การอุปนัยน่าจะง่ายนะครับ
ถ้า $N=6$ จะได้ $1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+\frac{1}{6} =2$
ถ้า $N=28$ จะได้ $1+\frac{1}{2} +\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28} =2$

[กิตติ]

ข้อ26.....
$a=(1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{2553}) $
$a=(\frac{1+1}{1})(\frac{2+1}{2})(\frac{3+1}{3})(\frac{4+1}{4})...(\frac{2551+1}{2551})(\frac{2552+1}{2552}) = 2553$

$b= -1+2-3+4-5+...-2009+2010$
$b =(2+4+...+2010)-(1+3+...+2009)$
$2+4+...+2010 = 2(1+2+...+1005) = 2\times \frac{1005(1005+1)}{2} = 1005\times 1006$
$1+3+...+2009 = (1+2+3+...+2009)-(2+4+...+2008) = \frac{2009\times 2010}{2} -1005\times 1004 =1005\times 1005$
$b= (2+4+...+2010)-(1+3+...+2009)$
$b= (1005\times 1006)-1005\times 1005 = 1005 $
$a-b = 2553 -1005 = 1548$.....ซึ่ง 8 หารไม่ลงตัว
ตอบ 1

[Xx GAMMA xX]

ขออนุญาตขุดคุ้ยกระทู้ครับ
เพราะจะสอบแล้วจึงขอความช่วยเหลือจากสำนักเซียนmcครับ
รบกวนขอวิธีทำข้อ8,9,33ด้วยครับ

ส่วนข้อ17ผมงงๆครับ
เพราะ ก.สมมติให้$a^2-b^2เป็นจำนวนเฉพาะ และ a+b=1$
จะได้$a^2-b^2=a+bแต่ไม่เท่าa+bเช่นa=4 b=-3$

[poper]

เห็นว่ายังไม่มีใครทำข้อ 15 เลยครับ
จำนวนที่ขึ้นต้นด้วย 3 คือ 3000,3003,3013,...,3993 รวมได้ 1000 ตัว
จำนวนที่ลงท้ายด้วย 3คือ 1003,1013,1023,...1993,2003,2013,...,9993 รวมได้ 900ตัว
จำนวนที่ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย 3 คือ 3003,3013,3023,...3993 รวม 100 ตัว
ดังนั้นจำนวนที่ขึ้นต้นหรืองท้ายด้วย 3 มี 1000+900-100=1800
ตอบข้อ 3 ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

ขออนุญาตขุดคุ้ยกระทู้ครับ


ส่วนข้อ17ผมงงๆครับ
เพราะ ก.สมมติให้$a^2-b^2เป็นจำนวนเฉพาะ และ a+b=1$
จะได้$a^2-b^2=a+bแต่ไม่เท่าa+bเช่นa=4 b=-3$

ดูข้อ ข ก่อน

$\frac{m^2+2}{4} = \frac{m^2}{4} + \frac{2}{4} = (\frac{m}{2})^2 + \frac{1}{2}$

ไม่มีจำนวนเต็ม $m$ ใดที่ทำให้ $ (\frac{m}{2})^2$ มีค่าเป็น $\frac{1}{2}$

จึงสรุปว่า 4 หาร $\frac{m^2+1}{4}$ ไม่ลงตัวทุกจำนวนเต็ม $m$


ข้อ ก

ถ้า $a$ และหรือ $b$ เป็นจำนวนลบแล้ว บางจำนวน $a^2 - b^2 \not= a + b$

เช่น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

ขอขุดหน่อยครับ พอดีผมแทนค่า a = 4 และ b = -3 แล้วข้อ ก ไม่เป็นจริงอ่ะครับ!!!

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kowit Pat.

ข้อ 17 ก. ผิดครับ ในกรณีที่ $a, b$ เป็นจำนวนจริงลบ อีกตัวอย่างเช่น $a = -\frac{3}{2}$ และ $b = -\frac{1}{2}$

จึงสรุปว่า ก. ผิด ข. ถูก

ตอบ ข้อ 4

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Xx GAMMA xX

ขออนุญาตขุดคุ้ยกระทู้ครับ
เพราะจะสอบแล้วจึงขอความช่วยเหลือจากสำนักเซียนmcครับ
รบกวนขอวิธีทำข้อ8,9,33ด้วยครับ

ข้อ 33

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มาเฉลยกันมั้ยครับ

ข้อ 33

$x^2+y^2+6y=4$

$x^2+(y+3)^2=13$

$(x,y+3)\in \left\{\,\pm 2,\pm 3\right\} $

$\therefore $ มีคำตอบทั้งหมด 8 คำตอบ ตอบ ก.

คุณArT_Ty เฉลยแล้ว

ความจริงมีอีก 2 คำตอบ คือ {x, y} = {$\sqrt{13}$, -3 }, { - $\sqrt{13}$, -3 }

แต่โจทย์กำหนด $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็ม จึงเหลือแค่ 8 คำตอบ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 3.

ให้ $a_i=\frac{1}{i+1}\binom{n}{i} ,i=0,1,2,...,n$

$(n+1)a_i=\binom{n+1}{i+1} $

$(n+1)S=\sum_{i = 0}^{n}\binom{n+1}{i+1} $

$\therefore S=\frac{2^{n+1}-1}{n+1} $ ตอบข้อ 1

ตรงบรรทัดสีแดง มันมาจากไหนหรือครับ?

[yonexyy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

18.

$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... + 98^5 + 99^5$

หลักหน่วยมีค่าเหมือน

$1^1 + 2^1 + 3^1 + ... + 98^1 + 99^1$

$\therefore n(n+1)/2$

= $99(99+1)/2$

= 4950

ตอบหลักหน่วย 0 ข้อ 1

ทำไหมหลักหน่วยมีค่าเท่ากันละครับ ขอบคุรมากครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ตรงบรรทัดสีแดง มันมาจากไหนหรือครับ?

เพราะว่า $\dbinom{n+1}{0}+\dbinom{n+1}{1}+\dbinom{n+1}{2}+\dots+\dbinom{n+1}{n+1}=2^{n+1}$ ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yonexyy

ทำไหมหลักหน่วยมีค่าเท่ากันละครับ ขอบคุรมากครับ

เพราะว่า $a$ กับ $a^5$ มีหลักหน่วยเท่ากับครับ ลองเช็คดู

[yonexyy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

ข้อ 5 $S = 1^2-2^2+3^2-4^2+...+(2n-1)^2-(2n)^2$

= $[1^2+2^2+3^2+4^2+...+(2n-1)^2+(2n)^2]$ $-$ $2[2^2+4^2+6^2+...(2n)^2]$

= $\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}$ $-$ $8[1^2+2^2+3^2+...+n^2]$

= $\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}$ $-$ 8[$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$]

= $\frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}$ $-$ 4[$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$]

= $\frac{n}{3}$[$8n^2+6n+1$ $-$ ($8n^2+12n+4$)]

= $\frac{n}{3}$ $(-6n-3)$

= $-n(2n+1)$

งงว่ามาได้ไงครับ ผมไม่ค่อยเก่ง ขอบคุณครับ

[poper]

สมมุติให้ $1^2+3^2+5^2+...+{(2n-1)}^2=A$ และ
$2^2+4^2+6^2+...+{(2n)}^2=B$
$S=A-B=(A+B)-B-B=(A+B)-2B$ ครับ

[กิตติ]

ข้อ 5 $S = 1^2-2^2+3^2-4^2+...+(2n-1)^2-(2n)^2$

ข้อสอบข้อนี้ผมเคยไปตอบในงานแข่งขันตอบปัญหางานวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ตอนม.6 คงราวๆปี2532 เห็นเอามาถามในระดับม.ต้นแล้วเหรอนี่ ตอนนั้นให้เวลา 3นาทีตอบ ผมเกือบคิดไม่ทัน แต่สังเกตเห็นว่า$1^2-2^2=(1-2)(1+2) = -(1+2)$ ถ้าจัดพจน์สองพจน์ใกล้กันมาเข้ากลุ่ม มันก็ผลต่างกำลังต่างธรรมดานี่เอง โจทย์ที่แข่งตอบกันให้หาถึงพจน์ที่ 50 ข้อนั้นหวุดหวิดจะหมดเวลา
โจทย์ข้อนี้กำหนดให้หาไปถึงพจน์ที่ $2n$
จัดรูปแบบโจทย์ใหม่เป็น
$S = 1^2-2^2+3^2-4^2+...+(2n-1)^2-(2n)^2$
$= -(1+2+3+...+(2n-1)+(2n))$......จัดการเข้าสูตรผลบวก$1+2+3+...+n=\frac{n}{2}(n+1)$
แทน $n$ ด้วย $2n$ จะได้ว่า $S = -n(2n+1) $

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อสอบข้อนี้ผมเคยไปตอบในงานแข่งขันตอบปัญหางานวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ตอนม.6 คงราวๆปี2532 เห็นเอามาถามในระดับม.ต้นแล้วเหรอนี่ ตอนนั้นให้เวลา 3นาทีตอบ ผมเกือบคิดไม่ทัน แต่สังเกตเห็นว่า$1^2-2^2=(1-2)(1+2) = -(1+2)$ ถ้าจัดพจน์สองพจน์ใกล้กันมาเข้ากลุ่ม มันก็ผลต่างกำลังต่างธรรมดานี่เอง โจทย์ที่แข่งตอบกันให้หาถึงพจน์ที่ 50 ข้อนั้นหวุดหวิดจะหมดเวลา
โจทย์ข้อนี้กำหนดให้หาไปถึงพจน์ที่ $2n$
จัดรูปแบบโจทย์ใหม่เป็น
$S = 1^2-2^2+3^2-4^2+...+(2n-1)^2-(2n)^2$
$= -(1+2+3+...+(2n-1)+(2n))$......จัดการเข้าสูตรผลบวก$1+2+3+...+n=\frac{n}{2}(n+1)$
แทน $n$ ด้วย $2n$ จะได้ว่า $S = -n(2n+1) $

โอ้ว..งขอบคุณคุณกิตติที่ให้แนวคิดการมองโจทย์แบบง่ายๆอีกข้อแล้วครับ

[กิตติ]

ข้อ1...$S= \frac{1^2}{1.3}+ \frac{2^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} $
ผมมองได้สองแบบ
แบบแรกได้ไอเดียจากเฉลยของคุณKowit Pat.ที่มองว่า$\frac{1}{1.3}=2[\frac{1}{3}-\frac{1}{5} ] $
จะได้ว่า$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =2[\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} ]$



จากวิธีทำของคุณKowit Pat.ในบรรทัดที่3 ผมจัดรูปแบบอีกหน่อยน่าจะมองง่ายขึ้นเป็น
$S=\frac{1}{2} \left\{\,\frac{1}{1} -\frac{1}{3}+\frac{2^2}{3}-\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{5}-\frac{3^2}{7}+...+\frac{n^2}{2n-1}-\frac{n^2}{2n+1} \right\} $

$S=\frac{1}{2} \left\{\,\frac{1}{1}+ (\frac{2^2}{3}-\frac{1}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{5})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+...+(\frac{n^2}{2n-1}-\frac{(n-1)^2}{2(n-1)+1} )-\frac{n^2}{2n+1} \right\}$

พิจารณาตรงนี้ก่อน
$(\frac{2^2}{3}-\frac{1}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{5})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+...+(\frac{n^2}{2n-1}-\frac{(n-1)^2}{2(n-1)+1} )$

$=\frac{1}{3}(1+2)+\frac{1}{5}(2+3)+\frac{1}{7}(3+4)+...+\frac{1}{2n-1}(2n-1)$
ทั้งหมด $n-1$ จำนวน เพราะ พจน์แรกกับพจน์ท้ายไม่ได้ถูกเอามาจับคู่
$S=\frac{1}{2} \left\{\,\frac{1}{1}+ n-1-\frac{n^2}{2n+1} \right\}$
$=\frac{1}{2}(n-\frac{n^2}{2n+1} ) $
$=\frac{n}{2}(1-\frac{n}{2n+1} )$
$=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$....จริงๆผมขยายความมากกว่า เฉลยไปตามนั้น

วิธีที่สองที่ผมมอง ผมแปลงพจน์ที่ $n$ เป็น $\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{\frac{1}{4} (4n^2-1)+\frac{1}{4}}{4n^2-1} = \frac{1}{4}+\frac{1}{4(4n^2-1)} $

มาพิจารณา$\frac{1}{(4n^2-1)}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{1}{2} (\frac{1}{(2n-1)} -\frac{1}{(2n+1)} ) $
$\frac{1}{4(4n^2-1)} = \frac{1}{8}(\frac{1}{(2n-1)} -\frac{1}{(2n+1)} ) $

$\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{4}+\frac{1}{8}(\frac{1}{(2n-1)} -\frac{1}{(2n+1)} )$

$S=\frac{n}{4}+\frac{1}{8}(1-\frac{1}{(2n+1)} )$
$=\frac{n}{4}+\frac{n}{4(2n+1)}$
$=\frac{n}{4} (1+\frac{1}{(2n+1)})$
$=\frac{n}{4}(\frac{2n+2}{(2n+1)} )$
$=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)} $