สพฐ. 53-54 บางข้อ

[Guntitat Gun]

ขอรบกวนสอบถามวิธีทำโจทย์คณิตศาสตร์สพฐ. ระดับเขต ปี 2553-2554 3 ข้อ ครับ

ข้อ 23 ปี 2553
ในการทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จำนวนวิธีที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋ามีค่าเท่ากับ 14 มีอยู่ทั้งหมดกี่วิธี

ข้อ 28 ปี 2553
บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก ${n}$ กำหนด ${sum(n)}$ แทนผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนที่เขียนแทน ${n}$ ในระบบเลขฐานสิบ เช่น ${sum(976)=9+7+6=22}$

กำหนด ${n=(14^\frac{1}{8}-7^\frac{1}{16})(14^\frac{1}{4}+7^\frac{1}{8})(14^\frac{1}{2}+7^\frac{1}{4})(14+7^\frac{1}{2})(7^\frac{1}{16})(28^\frac{1}{16}+1) }$

จงหาค่าของ ${sum(n)}$

ข้อ 21 ปี 2554
สุ่มหยิบฉลากที่มีจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 2020 เขียนกำกับไว้ ใบละ 1 จำนวน มา 1 ใบ
ถ้าความน่าจะเป็นที่ได้สลากที่จำนวนนั้นยกกำลังสามแล้วหารด้วย 3 ไม่ลงตัว เท่ากับ ${\frac{a}{b}}$
โดยที่ ${b\not=0}$ และ ห.ร.ม. ของ ${a}$ กับ ${b}$ เท่ากับ 1 แล้ว ${a+b}$ มีค่าเท่าใด

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Guntitat Gun

ข้อ 28 ปี 2553
บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก ${n}$ กำหนด ${sum(n)}$ แทนผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนที่เขียนแทน ${n}$ ในระบบเลขฐานสิบ เช่น ${sum(976)=9+7+6=22}$

กำหนด ${n=(14^\frac{1}{8}-7^\frac{1}{16})(14^\frac{1}{4}+7^\frac{1}{8})(14^\frac{1}{2}+7^\frac{1}{4})(14+7^\frac{1}{2})(7^\frac{1}{16})(28^\frac{1}{16}+1) }$

จงหาค่าของ ${sum(n)}$

ให้ $a = 14^{1/8}, b = 7^{1/16}$

จะได้ $(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(b)(28^{1/16}+1) \times \frac{a+b}{a+b}$

$=\frac{(a^{16}-b^{16})(b)(28^{1/16}+1)}{a+b}$

แล้วก็แทนค่า a, b ลงไป จากนั้นเอา b คูณยัดเข้าไปในวงเล็บหลัง

และตัวส่วนก็ดึง $7^{1/16}$ ออกมาก็จะตัดกับตัวเศษได้เท่ากับ 189 ครับ

ดังนั้น sum(189)=18

[Guntitat Gun]

ขอขอบคุณทั้งสองท่านมากครับ
--ขอคารวะ--

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Guntitat Gun

ข้อ 21 ปี 2554
สุ่มหยิบฉลากที่มีจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 2020 เขียนกำกับไว้ ใบละ 1 จำนวน มา 1 ใบ
ถ้าความน่าจะเป็นที่ได้สลากที่จำนวนนั้นยกกำลังสามแล้วหารด้วย 3 ไม่ลงตัว เท่ากับ ${\frac{a}{b}}$
โดยที่ ${b\not=0}$ และ ห.ร.ม. ของ ${a}$ กับ ${b}$ เท่ากับ 1 แล้ว ${a+b}$ มีค่าเท่าใด

หมายถึง ใบที่ไม่มี 3 เป็นตัวประกอบ (ถ้ามีต่อให้แค่ยกกำลังหนึ่ง3ก็หารลงตัวแล้ว)
ใบที่ $3,6,9,...,2019 = 673$ ใบ
ความน่าจะเป็น = $\frac{2020-673}{2020}\,=\,\frac{1347}{2020}=\frac{a}{b}$
$\therefore a+b=1347+2020=3367$


///อันนี้ผิด ไปดู #7///

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Guntitat Gun

ข้อ 28 ปี 2553
บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก ${n}$ กำหนด ${sum(n)}$ แทนผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนที่เขียนแทน ${n}$ ในระบบเลขฐานสิบ เช่น ${sum(976)=9+7+6=22}$

กำหนด ${n=(14^\frac{1}{8}-7^\frac{1}{16})(14^\frac{1}{4}+7^\frac{1}{8})(14^\frac{1}{2}+7^\frac{1}{4})(14+7^\frac{1}{2})(7^\frac{1}{16})(28^\frac{1}{16}+1) }$

จงหาค่าของ ${sum(n)}$

อีกวิธีค่ะ สวยงามดี
ให้ $14^\frac{1}{8}=a, 7^\frac{1}{16}=b$
จะได้ $n=(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(b)(28^{\frac{1}{16}}+1)$ ---(*)

พิจารณา $28^{\frac{1}{16}}=7^{\frac{1}{16}}\cdot 2^{\frac{1}{8}}=b\times2^{\frac{1}{8}}$
และ $a=14^\frac{1}{8}=7^\frac{1}{8}\cdot2^{\frac{1}{8}}=b^2\times2^{\frac{1}{8}}$
จะได้ว่า $\frac{a}{b}=28^{\frac{1}{16}}$

แทนค่าลงใน (*)
จะได้ $n=(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(b)(\frac{a}{b}+1)$
จะได้ $n=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)=a^{16}-b^{16}$ (ผลต่างกำลังสอง)
$=196-7=189$
$sum(n)=1+8+9=18$

[Puriwatt]

ข้อ 21 ปี 2554 มีลักษณะภาษาที่น่าสนใจและจดจำมาก
ในคำว่า "ที่จำนวนนั้นยกกำลังสามแล้วหารด้วย 3 ไม่ลงตัว"
หมายถึง "จำนวนนั้นเป็นเลขกำลังสามสมบูรณ์ และไม่เป็นพหุคูณของ 3"

--> ลองดูข้อสอบรอบแรก ปี 2550 ข้อ 13 ใช้ภาษาเดียวกันเลย
Attachment 15408

[น้องเจมส์]

สพฐ ระดับประเทศ ปี 2553
ข้อนี้ น่าจะตอบ 109 หรือเปล่าครับ

[น้องเจมส์]

สพฐ ระดับประเทศ ปี 53
ทำไมถึงไม่ตอบ 237 ครับ

[Aquila]

ตอบน้องเจมส์ น้องนี่รอบคอบดีนะ

1.ตอบ 109 ถูกแล้วครับ มันต้องคิดจาก 6+6-1 (มาจาก $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$)
2.ตอบ 237 ถูกแล้วเหมือนกัน มันถามไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ให้นับพวกที่มีตัวประกอบร่วมกับ 1005
ซึ่งก็มี $166+100+7-33-2-1+0=237$

[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ตอบน้องเจมส์ น้องนี่รอบคอบดีนะ

1.ตอบ 109 ถูกแล้วครับ มันต้องคิดจาก 6+6-1 (มาจาก $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$)
2.ตอบ 237 ถูกแล้วเหมือนกัน มันถามไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ให้นับพวกที่มีตัวประกอบร่วมกับ 1005
ซึ่งก็มี $166+100+7-33-2-1+0=237$

เจมส์ฝากให้มาถามพี่ๆใน mathcenter เนื่องจาก เฉลยมันขัดแย้งกับที่ตัวเองคิดได้

ขอบคุณมากๆครับ

[FedEx]

ข้อสอบ สพฐ. ระดับประเทศ ปี 2554

ข้อนี้น่าจะถามว่า "มีจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดกี่จำนวน....." น่าจะถูกต้องกว่านะครับ

เฉลย