โจทย์ค่าย สพฐ.2554

[gon]

โจทย์ที่แต่งเอง ถ้าไม่ได้ตั้งใจให้มันคิดออกมาง่าย ๆ สวย ๆ จะเหนื่อยครับ

อย่างข้อนี้

กรณีปลี่ยนโจทย์เป็นจำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,...,6 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว

ต้องคิดแจงกรณีเอาครับ

จะได้ว่า จำนวนสี่หลัก $\overline{abcd} $ ที่หารด้วยลงตัว

= จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 เหลือเศษ 3, 4, 5, 6, 7, 8

= $6^3 - $ จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 0, 1, 2

$= 6^3 - (2\times 4 + 1\times 3 + 0\times 3 + 1\times3 + 2\times3 + 3\times4 + 3\times5 + 3\times6 + 3\times5) = 6^3 - 80 = 136$

(เช่น ถ้า $\overline{ab}$ หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 0 คือ 36, 63, 45, 54 มี 4 จำนวน แล้ว c จะมีได้ 2 แบบคือ 1, 2 ดัวนั้น จะได้ $2\times 4$ เป็นต้น.)

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณคุณ Gon ที่เข้ามาช่วยให้ความกระจ่างอีกครั้งครับ
ผมเข้าใจทั้งหมดครับยกเว้นบรรทัดสุดท้าย ไม่ทราบว่าแจกแจงได้เป็นผลบวกอย่างนั้นคิดได้อย่างไรครับ
ต้องใช้เทคนิคพิเศษหาทั้ง3กรณีคือ เศษ=0,1,2 ใช่ไหมครับ
ผมลองใช้ฟังก์ัชันก่อกำเนิดหา กรณีเลข 3 หลักหารด้วย 9 ลงตัว ได้พจน์ $25x^9$ และ$x^{18}$
รวมกรณี เศษ=0,1,2 รวม =จำนวนพจน์ $x^9$ +จำนวนพจน์ $x^{18}=(3(25))+(1)=76 $ กรณี $x^{18}$ น่าจะมี 666 ตัวเดียว ไม่รู้หายไปไหน 4 ตัว

แต่ถ้าคิดจาก จำนวนตัวเลขที่เลข 3 หลักที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 3,4,5,6,7,8 จะได้คำตอบถูกต้อง
จากผลบวกของ สัมประสิทธิ์ของจาก x ยกกำลัง 3,4,5,6,7,8 แล 12,13,14,15,16,17 จากผลการกระจาย $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3$ ได้เป็น

ดังนั้นคำตอบ = 1+(3+6+10+15+21)2 +25=136

พบแล้วครับค่า ที่หายไป 4 เพราะ สัมประสิทธิ์ของx ยกกำลัง 9,10, 11 ไม่เท่ากันอย่างที่สมมุติครั้งแรก เมื่อเอาสัมประสิทธิ์ค่าจริงมาใช้
ทำให้สมการของคุณ Gon ถูกทั้ง 2 รูปแบบ อีกรูปแบบ คือ
จำนวนตัวเลข 4 ตำแหน่งที่หารด้วย 9 ลงตัว=จำนวนตัวเลขสามหลักทั้งหมด-(จำนวนตัวเลข3หลักที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 0,1,2)
$=6^3-(25+27+27+1)=216-80=316$ เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x ยกกำลัง 9,10,11,18=25,27,27,1 ตามลำดับ
วิธีนี้คำนวณได้ง่ายกว่าเพราะมีจำนวนพจน์ที่ใช้คำนวณน้อยกว่ามาก และโอกาสคำนวณผิดพลาดก็น้อยลงไปด้วย

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ขอบคุณคุณ Gon ที่เข้ามาช่วยให้ความกระจ่างอีกครั้งครับ
ผมเข้าใจทั้งหมดครับยกเว้นบรรทัดสุดท้าย ไม่ทราบว่าแจกแจงได้เป็นผลบวกอย่างนั้นคิดได้อย่างไรครับ

มันมีอยู่ 9 กรณีครับ หลักก็คือ

เศษจากการหารด้วย 9 จะเท่ากับผลบวกของเลขโดดทั้งหมด

และถ้าผลบวกยังไม่ใช่เลขโดด ก็ให้บวกเลขโดดซ้ำอีก จนกว่าจะได้เลขโดด

กรณีที่ 1 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 0 แสดงว่า a + b = 9 ได้แก่ 36,63,45,54
กรณีที่ 2 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 1 แสดงว่า a + b = 10 ได้แก่ 46, 64, 55
กรณีที่ 3 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 2 แสดงว่า a + b = 2, 11 ได้แก่ 11,56,65
กรณีที่ 4 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 3 แสดงว่า a + b = 3, 12
กรณีที่ 5 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 4 แสดงว่า a + b = 4
กรณีที่ 6 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 5 แสดงว่า a + b = 5
กรณีที่ 7 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 6 แสดงว่า a + b = 6
กรณีที่ 8 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 7 แสดงว่า a + b = 7 ได้แก่ 16, 61, 25,52,34,43
กรณีที่ 9 $\overline{ab}$ หารด้วย 9 เหลือเศษ 8 แสดงว่า a + b = 8

อย่างกรณีที่ 8 ตอนนี้ จำนวนสองหลัก $\overline{ab}$ หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 7 แต่เราต้องการให้ จำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 0, 1, 2 แสดงจะต้องหา c ที่นำมาบวกกับ 7 ต้องได้ 9, 10, 11 ตามลำดับ นั่นคือ c = 2, 3, 4 ดังนั้นกรณีที่ 8 จะมีจำนวนสามหลัก $\overline{abc}$ ทั้งหมด $3\times 6$ ชุด

เช่น
162 จะหารด้วย 9 เหลือเศษ 0 เพราะว่า 1+6+2 = 9 หารด้วย 9 เหลือเศษ 0
163 จะหารด้วย 9 เหลือเศษ 1 เพราะว่า 1+6+3 = 10 --> 1+ 0 = 1 หารด้วย 9 เหลือเศษ 1
164 จะหารด้วย 9 เหลือเศษ 2 เพราะว่า 1+6+4 = 11 --> 1+1 = 2 หารด้วย 9 เหลือเศษ 2

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณ Gon มากครับที่กรุณาให้รายละเอียดทำให้ผมเข้าใจได้มากขึ้น
จากความเข้าใจที่ได้ ผมลอง พยายามแจกแจง จำนวนตัวเลข3หลักที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 0,1,2 โดยตรงเป็นอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งได้ตามรูปดังนี้ครับ แทนการใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดหา ก็ได้ 80 เท่ากันครับ


จากรูป จำนวนที่หารด้วย 9 ได้เศษ 0,1,2 = 25,27,27 หรือผลบวกของหลักทั้งสามของแต่ละพจน์ = 9,10,11 และที่ได้ 18 =1 จำนวน รวมได้ 25+27+17+1=80 ตามต้องการ

[แม่ให้บุญมา]

ในทำนองเดียวกัน ถ้าโจทย์ให้หา จำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,5,6,7 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว
จะได้ = $7^3$-จำนวน 3 หลักที่หารด้วย 9 ได้เศษ 0 และ 1 =343-(จำนวนที่ผลบวกของหลักทั้ง 3 เท่ากับ 9,10,18,19 ตามลำดับ)
=343-(28+33+10+6)=343-77=266 ซึ่งตรงกับวิธีใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่ได้ สัมประสิทธิ์ของ x ยกกำลัง 9,18,27 =56+206+4=266

9:117,126,135,144,225,234,333 =3+6+6+3+3+6+1=28
10: 127,136,145,226,235,244,334=6+6+6+3+6+3+3=33
18:477,567,666=3+6+1=10
19: 577,667=3+3=6

[แม่ให้บุญมา]

ถ้ากรณีโจทย์ให้หา จำนวน 4 หลักซึ่งสร้างจากเลขโดด 1,2,3,4,5,6,7,8,9 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว จะได้คำตอบเป็น $9^3=729$ พอดี เพราะ เลข 4 หลักนี้ถ้าหารด้วย 9 ลงตัว แล้วแยกเป็น 3 กับ 1 ตัว ถ้า คิดกรณี 1 ตัวที่แยกเป็น 9 ซึ่งหารลงตัว
แสดงว่า ตัวเลข 3 หลักทั้งหมดคือ $9^3=729$ จะเท่ากับจำนวนเลข 4 หลักที่หารด้วย 9 ลงตัวทั้งหมด

[polsk133]

ขอดันหน่อยนะครับ มีหลายคนอยากได้แบบฝึก สพฐ แต่ไม่รู้ว่ามีกระทู้นี้อยู่

[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ขอบคุณครับ

รูปนี้ก็เคยลองวาดดูแล้ว แต่หาทางพิสูจน์ไม่ได้ว่าสีแดงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็เลยผ่านเลย

ตอบ 444

พิสูจน์สามเหลี่ยมหน้าจั่วอย่างไรครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ น้องเจมส์

พิสูจน์สามเหลี่ยมหน้าจั่วอย่างไรครับ

ลุงbanker คงจะต้องการใช้พิธาโกรัสในการหาคำตอบ แต่ผมคิดว่าใช้ตรีโกณง่ายกว่าครับ
คือจะได้ว่า $DE = \dfrac{AB'}{2} = \dfrac{ \sqrt{(24^2-13^2)}}{2} = \dfrac{\sqrt{407}}{2}$
และ $EC = 13+\dfrac{11}{2} = \dfrac{37}{2}$ จะได้ $DC^2 = DE^2+ EC^2 = 444$

[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ลุงbanker คงจะต้องการใช้พิธาโกรัสในการหาคำตอบ แต่ผมคิดว่าใช้ตรีโกณง่ายกว่าครับ
คือจะได้ว่า $DE = \dfrac{AB'}{2} = \dfrac{ \sqrt{(24^2-13^2)}}{2} = \dfrac{\sqrt{407}}{2}$
และ $EC = 13+\dfrac{11}{2} = \dfrac{37}{2}$ จะได้ $DC^2 = DE^2+ EC^2 = 444$

Attachment 15985

DE=AB'/2 มาจากใหนอ่ะครับ ตามไม่ทัน

[artty60]

น้องเจมส์ให้ดูสามเหลี่ยมมุมฉากADEกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วAB'Dครับแล้วดูค่าcos(m)