ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2553 ฉบับสแกน

[Influenza_Mathematics]

อยากรู้อะครับ ปกติ mean ของเด็ก ม.4 ประมาณเท่าไรหรอครับ
แล้วสรุปคะแนนนี่ แบ่งเป็นภาครึเปล่าครับ ประกาศวันไหนครับ ขอบคุณครับ

[catengland]

รู้สึกว่า อินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันตรีโกณนี่จะยากทุกปีเลยนะครับ มาข้อเดียว แต่ T_T

[Suwiwat B]

อึ้งไปเลยครับ .. ข้อสุดท้าย ... อ่าาาา

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bonegun

**อยากรู้ด้วยว่า ข้อ 23 (เติมสีลงสี่เหลี่ยม)
เราต้องคิดเรื่องการหมุนรูปจริงๆ หรือครับ เพราะถ้าคิดเป็นไม้กระดาน เราจะหมุนจะพลิกรูปยังไงก็ได้หนิ

ข้อนี้ลองยึดช่องทางมุมซ้ายบนเป็นตัวตั้งก่อนครับ มุมซ้ายบนจะเลือกใส่สีได้ 4 วิธี

คราวนี้มาดูตรง ขวาบน และ ซ้ายล่าง ซึ่งอยู่แนวเดียวกันกับ ซ้ายบน และห้ามเป็นสีซ้ำในแนวกัน

กรณีที่1

ขวาบน และ ซ้ายล่าง เป็นสีเดียวกัน จะเลือกสีใส่ 2 ช่องนี้ได้ 3 x 1 วิธี

ต่อไปเหลือช่อง ขวาล่าง ก็จะเลือกได้ 3 สี ซึ่ง 1 สีที่เลือกไม่ได้คือ สีของช่องขวาบน และ ซ้ายล่าง

สรุปจะใส่ได้ 4 x 3 x 1 x 3 = 36 วิธี

กรณีที่2

ขวาบน และ ซ้ายล่าง ต่างสีกัน จะเลือกสีใส่ 2 ช่องนี้ได้ 3 x 2 วิธี

ต่อไปเหลือช่อง ขวาล่าง ก็จะเลือกได้ 2 สี ซึ่งอีก 2 สีที่เลือกไม่ได้คือ สีของช่องขวาบน และ ซ้ายล่างที่ต่างกัน

สรุปจะใส่ได้ 4 x 3 x 2 x 2 = 48 วิธี

รวมแล้วจะใส่สีได้ 36 + 48 = 84 วิธี Ans.

[NNA-MATH]

เอิ่ม ตกลง ไม่ต้องหมุนหรอ คับ - -

[กิตติ]

ขอบคุณครับซือแป๋หยินหยางที่ช่วยแสกนและโพสขึ้นให้ดูครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NNA-MATH

เอิ่ม ตกลง ไม่ต้องหมุนหรอ คับ - -

หมุนยังไงหรอครับ

[NNA-MATH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

หมุนยังไงหรอครับ

คือ คิดแบบ วงกลมอะคับ

[กิตติ]

สำหรับข้อ23. กรณีที่มีสีซ้ำสองสี โดยระบายในช่องตรงข้ามกันสำหรับสีเดียวกัน ก็ยังน่าจะเข้าข่ายตามโจทย์กำหนดคือ ด้านตรงข้ามกัน ไม่มีด้านร่วมกัน
ผมคิดว่าน่าจะได้เพิ่มอีก$\binom{4}{2}=6 $ วิธี

[nooonuii]

35. ตอบ $\dfrac{7\pi}{4}$ ครับ

เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $u=x-\dfrac{25\pi}{4}$ จะได้

$\displaystyle{\int_{\frac{25\pi}{4}}^{\frac{53\pi}{4}}\dfrac{1}{(1+2^{\cos{x}})(1+2^{\sin{x}})}\,dx=\int_0^{7\pi}\dfrac{1}{(1+2 ^{\cos{(x+\frac{\pi}{4})}})(1+2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}})}\,dx}$

ให้

$f(x)=\dfrac{1}{(1+2^{\cos{(x+\frac{\pi}{4})}})(1+2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}})}$

$g(x)=\dfrac{1}{(1+2^{\cos{x}})(1+2^{\sin{x}})}$

จะได้ว่า

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{x}}g(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{x}+\cos{x}}g(x)\,dx}$


$\displaystyle{\int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}+\cos{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x) \,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\cos{x}}g(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\cos{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x)\,dx}$


$\displaystyle{\int_{\frac{7\pi}{4}}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\,dx}$

บวกทุกเทอมเข้าด้วยกันจะได้

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2\,dx}$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\pi}{2}$

แต่สังเกตว่า $f(x)=f(2\pi-x)$ ดังนั้นถ้าแทนค่าตัวแปร $u=2\pi-x$ จะได้ว่า

$\displaystyle{\int_{\pi}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\pi}f(x)\,dx}$

ดังนั้น $\displaystyle{\int_0^{\pi}f(x)\,dx=\dfrac{\pi}{4}}$

สุดท้ายจะได้ว่า

$\displaystyle{\int_0^{7\pi}f(x)\,dx=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{7\pi}{4}$

ใช้เวลาไปทั้งหมด $3$ ชั่วโมงครับข้อนี้ ใครทำข้อนี้ได้ในห้องสอบผมยกสองนิ้วโป้งให้เลย

[-SIL-]

ของผมที่เติมลงไปนะครับ ยังไม่ได้ลองคิดอีกรอบเลย และมีหลายข้อที่ไม่ชัวร์ครับ
16. 4
17. 5/3
18. $2\sqrt{3}$
19. 401
20. 27
21. 17
22. 3/8
23. 84
24. 41
25. -
26. -
27. 252 กรณี
28. 51 (อาการกำเริบ )
29. 8
30. -1
31. $\frac{\pi}{4}$ ตารางหน่วย
32. 11/2016
33. 5098
34. -
35. -

[Keehlzver]

คารวะ 100 จอกครับ พี่ Noonuii

ไม่ทราบว่าคิดไอเดียขึ้นมาอย่างไรครับ

[C H O]

วงรี $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \le 1$ มีความสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด
จุด (a,b) ในวงรี ที่ทำให้ $\sin (a+5b) = 0$ อยู่ในลักษณะเส้นตรงหลายๆ เส้น (คือเส้น $x+5y=k\pi$ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งพื้นที่รวม(กรณีนี้)เป็นศูนย์
พิจารณาจุด (a,b) ใดๆ ในวงรีนี้ เห็นได้ชัดว่า (-a,-b) จะอยู่ในวงรีนี้ด้วย
1) ถ้า (a,b) ทำให้ $\sin (a+5b) > 0$ แล้ว (-a,-b) ทำให้ $\sin ((-a)+5(-b)) = -\sin (a+5b) < 0$
2) ถ้า (a,b) ทำให้ $\sin (a+5b) < 0$ แล้ว (-a,-b) ทำให้ $\sin ((-a)+5(-b)) = -\sin (a+5b) > 0$
แสดงว่า
บรรดาจุด (a,b) ในวงรี ที่ทำให้ $\sin (a+5b) \ne 0$ จะมีเพียงครึ่งหนึ่งที่อยู่ในบริเวณที่โจทย์ต้องการพื้นที่

ดังนั้น พื้นที่ที่โจทย์ต้องการ เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงรี $= \pi ab = \pi (2)(3) = 6\pi $

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

คารวะ 100 จอกครับ พี่ Noonuii

ไม่ทราบว่าคิดไอเดียขึ้นมาอย่างไรครับ

ก็ลองผิดลองถูกไปเรื่อยครับ

แต่ที่ชั่งใจไว้ก่อนคือ โจทย์ระดับม.ปลาย ก็ควรจะใช้วิธีแบบ ม.ปลาย

ซึ่งเทคนิคที่สำคัญที่สุดในระดับนี้ก็คือการเปลี่ยนตัวแปรนั่นเอง

แต่ที่เสียเวลาึิคิดไปเยอะเพราะคาดไม่ถึงว่าจะต้องแตกอินทิกรัลออกมาเป็น $8$ ส่วนนั่นแหละครับ

[NNA-MATH]

ซูฮก