พิสูจน์ให้หน่อยครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

1) ถ้า $b{\mid}c$ แล้ว $(a,b)\leq (a,c)$ หมายเหตุ (a,b) คือ ห.ร.ม. ของ a,b นะครับ
2) $(ac,bc)$=${\mid}c{\mid}(a,b)$

[nooonuii]

1. เราทราบว่า $(a,b)|a$ และ $(a,b)|c$ ดังนั้น $(a,b)$ เป็นตัวหารร่วมตัวหนึ่งของ $a$ และ $c$

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RETRORIAN_MATH_PHYSICS

1) 2) $(ac,bc)$=${\mid}c{\mid}(a,b)$

เราจะได้ว่า จะมี $x,y\in\mathbb{Z}$ ซึ่ง $$(a,b)=ax+by.....(1)$$
ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่ามี $x',y'\in\mathbb{Z}$ ซึ่ง $(ac,bc)=(ac)x'+(bc)y'...(2)$
จาก(1):$ \mid c\mid(a,b)=a\mid c\mid x+b\mid c\mid y....(3)$
สมมติว่า $D=(ac,bc)$ และ $d=(a,b)$ นั่นคือ
(i)ให้ $D=(ac,bc)$ จะได้ว่า $D\vert ac,D\vert bc$ จึงได้ว่า $D\vert a\mid c\mid x+b\mid c\mid y$ นั่นคือ $d\vert \mid c\mid(a,b)\rightarrow D\vert \mid c\mid d$
(ii)ให้ $d=(a,b)$ จะได้ $d\vert a,d\vert b\rightarrow cd\vert ac,cd\vert bc\rightarrow cd\vert
(ac)x'+(bc)y'\therefore cd\vert (ac,bc)\rightarrow cd\vert D$ หรือ $\mid c\mid d\vert D$
จาก (i)และ (ii) จึงได้ว่า $D=\mid c\mid d$#