โจทย์เรื่องสถิติครับผม

[g_boy]

นักเรียนคนหนึ่งคำนวณหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของเพื่อนทั้งหมดในห้องได้เท่ากับ 7 แต่พบว่าคำนวณผิด เนื่องจากนำค่ามัธยฐานมาใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ้าค่ามัธยฐานมีค่าเท่ากับ 53 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าเท่ากับ 57 แล้วค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องควรมีค่าเท่าใด



รบกวนท่านผู้รู้ช่วยอธิบายวิธีทำให้หน่อยครับ ขอบคุณครับ

[Scylla_Shadow]

สวัสดีค่ะ

Assumption ของดิฉันนะคะ :ข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลประชากร

ให้ เพื่อนในห้องมี N คน แต่ละคน ได้คะแนน $x_1,x_2,x_3,...,x_N$

ตอนคำนวณผิด

$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i-53)^2}{N}}=7$
$\sum_{i = 1}^{N} (x_i-53)^2=49N$
$\sum_{i = 1}^{N} (x_i^2-106x_i+2809)=49N$
$\sum_{i = 1}^{N} x_i^2-106\sum_{i =1}^{N} x_i+2809N=49N$
$\sum_{i = 1}^{N} x_i^2-106\sum_{i =1}^{N} x_i=-2760N$

แต่ทว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 57
นั่นคือ $\sum_{i =1}^{N} x_i=57N$ เอาไปแทนค่ากลับที่เดิม

$\sum_{i = 1}^{N} x_i^2-106(57N)=-2760N$
$\sum_{i = 1}^{N} x_i^2=-2760N+106(57N)=3282N$

ตอนคำนวณถูก
$ANS=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i-57)^2}{N}}$
=$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i^2-114x_i+3249)}{N}}$
=$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i^2)-114 \sum_{i = 1}^{N} (x_i)+3249N}{N}}$
=$\sqrt{\frac{3282N-114(57N)+3249N}{N}}$
=$\sqrt{33}$

Personal Comment:
ว่าแล้วก็ทำเป็น general case ให้หน่อยละกัน
ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นตัวแปรให้หมด
นักเรียนคนหนึ่งคำนวณหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของเพื่อนทั้งหมดในห้องได้เท่ากับ a แต่พบว่าคำนวณผิด เนื่องจากนำค่ามัธยฐานมาใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ้าค่ามัธยฐานมีค่าเท่ากับ b และค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าเท่ากับ c แล้วค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้องควรมีค่าเท่าใด

คำตอบที่ได้ควรจะเป็น $\sqrt{a^2-(b-c)^2}$
เช่นในกรณีนี้ a=7,b=53,c=57
คำตอบจะเป็น $\sqrt{7^2-(53-57)^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{49-16}=\sqrt{33}$

สวัสดีค่ะ

edit 1 เพิ่ม Personal Comment

[g_boy]

เราใช้สูตรตามรูป ไม่ได้เหรอครับ ผมลองดูแล้วมันไม่ออกครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ g_boy

เราใช้สูตรตามรูป ไม่ได้เหรอครับ ผมลองดูแล้วมันไม่ออกครับ

สูตรนี้ใช้กับ ค่ากลางที่เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่านั้นครับ

[g_boy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

สูตรนี้ใช้กับ ค่ากลางที่เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่านั้นครับ

เพราะเหตุนี้เอง ผมก็เพิ่งทราบ ขอบพระคุณครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ g_boy

เราใช้สูตรตามรูป ไม่ได้เหรอครับ ผมลองดูแล้วมันไม่ออกครับ

สวัสดีค่ะ
สูตรตามรูปใช้ได้กับตอนคำนวณข้อมูลถูกค่ะ
ถ้าใช้กับตอนคำนวณข้อมูลที่ใส่มาผิดตอนแรก ก็ไม่ได้ค่ะ
เหตุผลอยู่ข้างล่างค่ะ
สวัสดีค่ะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

จากโจทย์ Median = 53 , x บาร์ = 57

(S.D.ผิด)^2 = [ [ซิกม่า (x^2)] / n ] - (53^2)
7^2 = 49 = [ [ซิกม่า (x^2)] / n ] - (53^2)
(49 + (53^2))n = [ซิกม่า (x^2)]

(S.D.ถูก)^2 = [ [ (49 + (53^2))n ] / n ] - (57^2) = (49 + (53^2)) - (57^2) = จำนวนติดลบ (เป็นไปไม่ได้)

สวัสดีค่ะ
ผิดตั้งแต่บรรทัดแรกเลยค่ะ

[ $((x1^2) + (x2^2) + (53^2) + (x4^2) + (x5^2))/5 ] - (53^2) = 7^2 $ สมการนี้ผิด
ผิดเพราะอะไรผมก็ไม่รู้

เพราะใช้สูตรผิด ถ้าแทนไปตรงๆ จะมีพจน์บางพจน์หายไปค่ะ

อนึ่ง กำหนดการใช้สัญลักษณ์ตามนี้นะคะ (ตามธรรมเนียมยึดถือปฏิบัติอย่างเคร่งครัดค่ะ)
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะใช้ $\sigma $ สำหรับข้อมูลประชากร และ S.D. สำหรับข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง
จำนวนข้อมูล จะใช้ N สำหรับข้อมูลประชากร และ n สำหรับข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะใช้ $\mu $ สำหรับข้อมูลประชากร และ $\bar x $ สำหรับข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง
กรุณาอย่าใช้สลับกันค่ะ

การคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นเริ่มจากสูตรนี้ค่ะ
$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N} (x_i-\mu )^2}{N}}$ สำหรับข้อมูลประชากร

$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_i-\bar x )^2}{n-1}}$ สำหรับข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง

ส่วนสูตรอื่น ถือเป็น Corollary ที่ตามมาค่ะ
อนึ่ง คิดว่าควรระลึกสูตรที่เป็นที่มาของสูตรไว้ เพราะว่าตอนที่จะขยายผลไปจะได้ไม่ลำบากค่ะ

สวัสดีค่ะ