ขอวิธีคิดหน่อยค่ะ

[Kittima]

จงหาค่าของ\sum_{n = 1}^{\1024} \left\lfloor\,2\sqrt{a}\right\rfloor
กำหนดให้\left\lfloor\,x\right\rfloor หมายถึงจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับx

[cfcadet]

อยากรู้วิธีเช่นกันครับ

[Thamma]

ลองหาค่า $ \lfloor2\sqrt {a} \rfloor $ และใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต หา $ a_n $ เมื่อ $ S_n = 1024 $ แล้วจะได้ว่า

$ \sum_{a=1}^{1024} \lfloor2\sqrt {a} \rfloor

= (3\cdot1)+(7\cdot2)+(11\cdot3) +(15\cdot4)+(19\cdot5) +... + (123\cdot31) + (62\cdot32) + (64 \cdot 1) $

31 พจน์แรก สามารถใช้สูตร ผลบวกของ $ n^2 $ และผลบวกของ $ n $, ส่วน 2 พจน์สุดท้าย แยกคำนวณต่างหาก

$ = \sum_{n=1}^{31} (4n^2 - n ) + (62\cdot32) + (64 \cdot1) $

$ = 4 \sum_{n =1}^{31} n^2 - \sum_{n =1}^{31} n + 1984 + 64 $

$ = 4 \left[\frac {31(31+1)(62+1)}{6}\right] - \frac{31}{2} (1+31) + 2048 $

= 43,216