ถูกหรือผิด

[numtaan]

$2.9\cdots$ (สองจุดเก้าเก้าซ้ำ) เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม
จากโจทย์ข้างต้นถูกหรือผิดค่ะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ numtaan

$2.9\cdots$ (สองจุดเก้าเก้าซ้ำ) เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม
จากโจทย์ข้างต้นถูกหรือผิดค่ะ

ถูกต้องครับ มันเท่ากับ 3

[numtaan]

แต่ก็ยังงงอยู่ดีว่าทำไม (สองจุดเก้าเก้าซ้ำ) จึงเท่ากับ 3 มันแค่ใกล้เคียงกับ 3 มากๆๆๆเท่านั้นไม่ใช่เหรอค่ะ
ซึ่งการเปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนมันเป็นแค่ค่าใกล้เคียงหรือเปล่าค่ะ

[FranceZii Siriseth]

A=2.999999...
10A=29.99999...
นำสมการมาลบกัน
9A=27
A=3

ทศนิยมซ้ำ คือ เศษส่วนครับ ไม่ใช่ค่าประมาณ

[numtaan]

เข้าใจวิธีการเปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนของคุณ gon และคุณ FranceZii Siriseth นะคะ ขอบคุณมากค่ะ
แต่ในกรณีถ้าเราเขียนเปรียบเทียบจำนวน 2.999999... = 3.0000000...
มันจะถูกต้องหรือค่ะ เพราะหลักการเปรียบเทียบจำนวนที่เป็นทศนิยมต้องดูตัวเลขหน้าจุดทศนิยมก่อนไม่ใช่หรือค่ะ
ซึ่ง 2 มีค่าน้อยกว่า 3

[FranceZii Siriseth]

ยังไงหรอครับ แต่ 2.999... มันเท่ากับ 3 เปรียบเทียบยังไงหรอครับ เพราะเราเขียนเชื่อมด้วยเครื่องเท่ากับไปแล้ว

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ numtaan

เข้าใจวิธีการเปลี่ยนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนของคุณ gon และคุณ FranceZii Siriseth นะคะ ขอบคุณมากค่ะ
แต่ในกรณีถ้าเราเขียนเปรียบเทียบจำนวน 2.999999... = 3.0000000...
มันจะถูกต้องหรือค่ะ เพราะหลักการเปรียบเทียบจำนวนที่เป็นทศนิยมต้องดูตัวเลขหน้าจุดทศนิยมก่อนไม่ใช่หรือค่ะ
ซึ่ง 2 มีค่าน้อยกว่า 3

การเปรียบเทียบที่ว่า มันใช้ไม่ได้กับทุกปัญหาครับ.

อย่างตามรูป สมมติว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1x1 = 1 ตารางหน่วย

จากนั้นผมแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วน ด้วยอัตราส่วน 9:1 เสมอ

จะได้พื้นที่ซ้ายมือคือ $\frac{9}{10}$ ของ 1 ตารางหน่วย = $\frac{9}{10} \times 1 = \frac{9}{10}$ตารางหน่วย

และได้พื้นที่ $ x + y = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ ตารางหน่วย

จากนั้นแบ่งพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก $x+y = \frac{1}{10}$ ตารางหน่วย ออกเป็น 2 ส่วนแบบเดิมคือ 9:1 นั่นก็คือ

จะได้ $y = \frac{9}{10}$ ของ $x + y = \frac{9}{10}\times \frac{1}{10} = \frac{9}{100}$

แล้ว $x = (x+y) - y = \frac{1}{10} - \frac{9}{100} = \frac{1}{100}$

จากรูป เราเห็นได้ชัดเจนว่า พื้นที่ทั้งหมดคือ 1 ตารางหน่วย ย่อมเท่ากับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านในรวมกันแน่ ๆ เป็นอย่างอื่นไปไม่ได้

นั่นก็คือ $1 = \frac{9}{10} + y + x = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + x$

สำหรับ $x$ ก็แบ่งในทำนองเดียวกันเรื่อยไป ก็จะได้ $x = \frac{9}{1000} + \frac{9}{10000} + \frac{9}{100000} + ...$

นั่นคือ $1 = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \frac{9}{10000} + \frac{9}{100000} + ... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ... = 0.99999...$

ถึงแม้ว่ามันดูแปลก ๆ ว่าทำไม 1 หรือ 1.000... = 0.99999... แต่ยังไงมันก็ต้องเป็นจริง เพราะว่าพื้นที่ใหญ่สุดก็ต้องเท่ากับพื้นที่ย่อยรวมกัน

[numtaan]

ขอบคุณมากค่ะ คุณ gon ที่ช่วยอธิบายอย่างละเอียดและบอกตอนท้ายว่ามันดูแปลก ๆ แต่ยังไงมันก็ต้องเท่ากัน(โดนใจมาก)