ถามเรื่อง semigroups admitting ring structure ครับ

[latex]

คือผมสงสัยว่า semigroups ที่สามารถ admit ring structure ได้นี่มีประโยชน์อย่างไรครับ
เห็นที่ศึกษากันมาก็มีบางตัวที่ admit ได้ บางตัว admit ไม่ได้
บางตัว admit ได้เมื่อมีเงื่อนไขอย่างนั้นอย่างนี้
ก็เลยสงสัยว่า semigroups ที่ admit ring structure ได้เนี่ยมันมีข้อดีอย่างไร
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

มันก็ดีตรงที่เราสามารถศึกษา semigroup ตัวนั้นด้วยโครงสร้างทางพีชคณิตที่มีเพิ่มขึ้นมาได้ด้วยไงครับ

ปกติแล้วโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ถ้ามันมีคุณสมบัติให้ใช้เยอะ การศึกษาโครงสร้างนั้นๆจะทำได้ง่ายขึ้น

เพราะมันจะมีเครื่องมือให้ใช้มากขึ้นตามไปด้วย การแก้ปัญหาก็ทำได้หลากหลายขึ้น

ตัวอย่าง

หัวใจหลักของการศึกษาวิชาพีชคณิตก็คือการแก้สมการ มนุษย์เราเริ่มต้นประวัติศาสตร์ของการแก้สมการด้วย

การศึกษาเซตของจำนวนนับ ถ้าเราจำกัดการศึกษาอยู่แค่การบวก (ซึ่งเป็น semigroup)

เราก็คงทำอะไรได้ไม่ถนัดเท่าไหร่ แต่ถ้าเราเพิ่มการคูณเข้ามาด้วย(คราวนี้จะได้ semiring) มันก็ดีขึ้นเยอะ

แต่ก็ยังไม่ดีเท่าไหร่ แค่จะแก้สมการง่ายๆอย่างเช่น $x+1=0$ ก็ยังทำไม่ได้เลย เราก็อาจจะขยายเซตนี้ไปหาเซตของ

จำนวนเต็ม คราวนี้ดีขึ้นเยอะ เพราะเซตนี้กลายเป็น ring ไปซะแล้ว แต่ดีพอหรือยัง ยังครับ เพราะถ้าจะหาคำตอบของ

สมการอย่างเช่น $2x-1=0$ เซตของจำนวนเต็มมันไม่ให้คำตอบของสมการนี้เลย เราก็ขยายอีก คราวนี้เป็นเซตของ

จำนวนตรรกยะ ก็ยิ่งดีขึ้นไปอีกเพราะเซตนี้กลายเป็น field ซึ่งมีคุณสมบัติให้ใช้เยอะมากๆ แต่ปรากฎว่าพอเ้ราจะแก้

สมการง่ายๆอย่างเช่น $x^2-2=0$ เรากลับหาจำนวนตรรกยะที่เป็นคำตอบไม่เจอ เราก็ขยายอีกคราวนี้เป็นเซตของ

จำนวนจริง เซตนี้ดียิ่งกว่าเก่ามากเพราะมันเป็นถึง complete ordered field แต่ถึงกระนั้นก็ยังไม่เพียงพอกับความ

อยากรู้อยากเห็นของนักคณิตศาสตร์ เพราะแค่สมการง่ายๆอย่างเช่น $x^2+1=0$

เรากลับแก้ไม่ได้ในเซตของจำนวนจริง เอาอีกแล้วต้องขยายกันอีก งั้นเอาไปเลยเซตของจำนวนเชิงซ้อน

แต่คราวนี้จบครับ เพราะเซตของจำนวนเชิงซ้อนกลายเป็น algebraically closed field หมายถึงเซตของจำนวนซึ่งทุก

สมการพหุนามจะมีคำตอบ(หรือราก)อยู่ในเซตนี้ทั้งหมด

[kongp]

ผมว่าข้อดีคือ การโมเดลที่ถูกต้อง ต้องมีการสร้างความเข้าใจสิ่งที่ศึกษาเป็นเบื้องต้น ผมว่าที่ถามตรงนี้อาจได้คำตอบเป็น to measure symetry หรืออื่นๆ

และตรวจสอบแล้วไม่ตรงกับเงื่อนไข ก็ไม่ใช่ตามข้อกำหนด